2023届江苏省无锡市锡东片数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，菱形ABCD与等边△AEF的边长相等，且E、F分别在BC、CD，则∠BAD的度数是（ ）

A．80° B．90° C．100° D．120°
2．二次函数的图象如图，有下列结论:①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，.其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④⑥ C． ②⑤⑥ D．②③⑤
3．下列说法正确的个数是（ ）
①相等的弦所对的弧相等；②相等的弦所对的圆心角相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆周角相等；⑤圆周角越大所对的弧越长；⑥等弧所对的圆心角相等；
A．个 B．个 C．个 D．个
4．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )
A．y＝(x+1)2+3 B．y＝(x+1)2﹣3
C．y＝(x﹣1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2+3
5．已知是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．一组数据：2，3，6，4，3，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．3，3 B．3，4 C．3.5，3 D．5，3
7．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9
8．下列汽车标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为（ ）

A．80° B．90° C．100° D．110°
10．下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
12．如图，该几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
14．圆锥的侧面展开图是一个_____形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为_____．
15．一天早上，王霞从家出发步行上学，出发6分钟后王霞想起数学作业没有带，王霞立即打电话叫爸爸骑自行车把作业送来（接打电话和爸爸出门的时间忽略不计），同时王霞把速度降低到前面的一半.爸爸骑自行车追上王霞后立即掉头以原速赶往位于家的另一边的单位上班，王霞拿到作业后立即改为慢跑上学，慢跑的速度是最开始步行速度的2倍，最后王霞比爸爸早10分钟到达目的地.如图反映了王霞与爸爸之间的距离（米）与王霞出发后时间（分钟）之间的关系，则王霞的家距离学校有__________米.

16．如图，的顶点和分别在轴、轴的正半轴上，且轴，点，将以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，恰好有一反比例函数图象恰好过点，则的值为___________.

17．sin245°+ cos60°=____________.
18．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.

20．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

21．（8分）如图，抛物线过原点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（10分）解方程：x2-7x-18=0.
23．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．

24．（10分）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．

（1）求BC的长；
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．
（3）求CD的长．
25．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）.

（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
26．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据菱形的性质推出∠B=∠D，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣∠EAF﹣（∠BAE+∠FAD）=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选C．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
2、D
【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x=图象在x轴上方，即可得到x=所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.
【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，
由对称轴在y轴的右边可得x=＞0，从而有b<0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0，
则abc>0，故①错误；
②由对称轴方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确；
④由图像可知，x=所对应的函数值为正，
∴x=时，有a-b+c>0，故④错误；
⑤若，且x1≠x2，
则，
∴抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，
∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正确．
⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；
∴正确的有②③⑤；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．
3、A
【分析】根据圆的相关知识和性质对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；故①错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故③错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；故④错误；
在同圆或等圆中，圆周角越大所对的弧越长；故⑤错误；
等弧所对的圆心角相等；故⑥正确；
∴说法正确的有1个；
故选：A.
【点睛】
本题考查了弧，弦，圆心角，圆周角定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解，解题的关键是熟练掌握所学性质定理.
4、D
【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】抛物线y＝x2先向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得y＝（x﹣1）2+3.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
5、B
【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.
【详解】由题意可得，a=1，b=k，c=-1，
∵ 满足，
∴ ①
根据韦达定理 ②
把②式代入①式，可得：k=-2
故选B.
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.
6、C
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第1、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【详解】要求一组数据的中位数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列2，1，1，4，5，6，
第1、4个两个数的平均数是（1＋4）÷2＝1.5，
所以中位数是1.5，
在这组数据中出现次数最多的是1，
即众数是1．
故选：C．
【点睛】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
7、B
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∵AB：BC＝4：3，
∴DE：AB＝3：4，
∵△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝DE：AB＝3：4，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8、C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行判断即可．
【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的性质是解题的关键．
9、D
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠OAD=110°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10、D
【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.
【详解】A选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；
B选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；
C选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；
D选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键.
11、A
【分析】由几何体的俯视图观察原立体图形中正方体的位置关系
【详解】由俯视图可以看出一共3列，右边有前后2排，后排是2个小正方体，前面一排有1个小正方体，其他两列都是1个小正方体，
由此可判断出这个几何体的主视图是A．
故选A．
12、C
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得是1个大正方形，大正方形左上角有个小正方形．
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故 ，代入求解即可.
【详解】根据题意可得： 解得：m=1
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键.
14、扇 10π
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案．
【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，
圆锥的侧面积＝=π×2×3＝6π，
底面积为=4π，
∴全面积为6π+4π＝10π．
故答案为：扇，10π
【点睛】
本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键．
15、1750
【分析】设王霞出发时步行速度为a米/分钟，爸爸骑车速度为b米/分钟，根据爸爸追上王霞的时间可以算出两者速度关系，然后利用学校和单位之间距离4750建立方程求出a，即可算出家到学校的距离.
【详解】设王霞出发时步行速度为a米/分钟，爸爸骑车速度为b米/分钟，
由图像可知9分钟时爸爸追上王霞，
则，整理得
由图像可知24分钟时，爸爸到达单位，
∵最后王霞比爸爸早10分钟到达目的地
∴王霞在第14分钟到达学校，即拿到作业后用时14-9=5分钟到达学校
爸爸骑车用时24-9=15分钟到达单位，单位与学校相距4750米，
∴
将代入可得，
解得
∴王霞的家与学校的距离为米
故答案为：1750.
【点睛】
本题考查函数图像信息问题，解题的关键是读懂图像中数据的含义，求出王霞的速度.
16、-24
【分析】先根据图形旋转的性质得BD=BA，∠DBA=90°，再得出轴，然后求得点D的坐标，最后利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可.
【详解】设DB与轴的交点为F，如图所示：

∵以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，点，轴
∴BD=BA=6，∠DBA=90°
∴轴
∴DF=6-2=4
∴点D的坐标为（-4,6）
∵反比例函数图象恰好过点
∴，解得：
故填：
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转、待定系数法求反比例函数解析式，根据图形旋转的性质得出点D的坐标是关键.
17、1
【分析】利用特殊三角函数值代入求解.
【详解】解：原式=
【点睛】
熟记特殊的三角函数值是解题的关键.
18、k=
【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，
∴，∵AB=AC，∴OB=CD，
由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，
把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），
代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，
故答案为．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

三、解答题（共78分）
19、人行通道的宽度为1米.
【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可.
【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得，
(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝(不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度为1米.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键.
20、（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析
【分析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．
【详解】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，
可得a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），
∴C'（5，6），
设直线BC'的解析式为y=kx＋b
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：
∴直线BC'的解析式为y＝x+1，
将x＝代入，解得y=
∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；
故存在5个满足条件的P点．

【点睛】
此题考查的是求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和尺规作图，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间线段最短和用尺规作图作等腰三角形是解决此题的关键．
21、（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；
（2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可；
（3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）∵在抛物线上，
∴．

作轴于，作轴于，
则，，
∴，．
∴．
∵，．
∴．
（3）假设存在．
设点的横坐标为，则为．
由于，
所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，
有或
∴ 或．
解得或．
∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似．
∴点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
22、
【分析】利用因式分解法求解即可.
【详解】
因式分解，得
于是得或

故原方程的解为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，其主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字相乘法）等，熟记各解法是解题关键.
23、∠C =25°．
【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．
【详解】解：如图，连接OB，

∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵∠A=40°，
∴∠BOA=50°，
又∵OC=OB，
∴∠C=∠BOA=25°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，知切点，则连半径，若不知切点，则作垂直．
24、（1）；（2）△ABD是等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】（1）由题意根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC的长；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义AD=BD，进而即可判断△ABD为等腰直角三角形；
（3）由题意过点A作AE⊥CD，垂足为E，可知，分别求出CE和DE的长即可求出CD的长．
【详解】解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90o
在Rt△ABC中，.
（2）连接AD和BD，

∵CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∴即有AD=BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形 .
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，

在Rt△ACE中，
∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90o
∴CE=AE=AC=
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ，得出
在Rt△ADE中，
∴.
【点睛】
本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及其推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径进行分析．
25、（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）该函数图象如图所示；见解析（1）x的取值范围x≤﹣1或x≥1．
【分析】（1）用待定系数法将A（﹣1，0），C（0，1）坐标代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c即可.
（2）利用五点绘图法分别求出两交点，顶点，以及与y轴的交点和其关于对称轴的对称点，从而绘图即可.
（1）根据A,B,C三点画出函数图像，观察函数图像即可求出x的取值范围.
【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，1），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向上，过点（﹣1，0），（1，0），（0，1），（2，1），
该函数图象如右图所示；
（1）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥1．

【点睛】
本题考查二次函数综合问题，结合待定系数法求二次函数解析式以及二次函数性质和二次函数图像的性质进行分析.
26、（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得

解得：＝1.1，＝2.1，
∵有利于减少库存，∴y＝2.1．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．