福建省福州仓山区七校联考2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠C＝40°，则∠OAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
3．如图，在第一象限内，，是双曲线()上的两点，过点作轴于点，连接交于点，则点的坐标为(　　)

A． B． C． D．
4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
5．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
7．过反比例函数图象上一点作两坐标轴的垂线段，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
8．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF ②MB=FN ③MP·DP=NP·FP ④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　）

A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
10．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
11．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当时，
D．方程有两个不相等的实数根
12．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（　　）

A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在中，则AB的长为________（用含α和b的代数式表示）

14．如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，若的半径为.则劣弧的长为______．

15．已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是_____．
16．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为_______．
17．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线和直线外一点.

求作：直线的垂线，使它经过.
作法：如图2.

（1）在直线上取一点，连接；
（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点；
（3）以点为圆心，为半径作圆，交直线于点（异于点），作直线.所以直线就是所求作的垂线.
请你写出上述作垂线的依据：______.
18．点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
20．（8分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当点B于点O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．
①求证：EF平分∠AEC；
②求EF的长．

21．（8分）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；

（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
22．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）.

23．（10分）用适当的方法解方程：
（1）x2+2x=0
（2）x2﹣4x+1=0
24．（10分）若关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根，
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，D、E在边AB上．
（1）求证：△ADG∽△FEB；
（2）若AD＝2GD，则△ADG面积与△BEF面积的比为 ．

26．如图，矩形中，点为边上一点，过点作的垂线交于点.

（1）求证：；
（2）若，求的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.
【详解】sin 30°=，
故选：B.
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
2、C
【分析】直接利用圆周角定理得出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案.
【详解】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°﹣80°)＝50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理. 正确得出∠AOB的度数是解题关键.
3、D
【分析】先根据P点坐标计算出反比例函数的解析式，进而求出M点的坐标，再根据M点的坐标求出OM的解析式，进而将代入求解即得．
【详解】解：将代入得：
∴
∴反比例函数解析式为
将代入得：
∴
∴
设OM的解析式为：
∴将代入得
∴
∴OM的解析式为：
当时

∴点的坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题考查待定系数法求解反比例函数和正比例函数解析式，解题关键是熟知求反比例函数和正比例函数解析式只需要一个点的坐标．
4、B
【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．
详解：A、x2+6x+9=0.
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x.
x2-x=0.
△=（-1）2-4×1×0=1＞0.
方程有两个不相等实数根；
C、x2+3=2x.
x2-2x+3=0.
△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D、（x-1）2+1=0.
（x-1）2=-1，
则方程无实根；
故选B．
点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5、D
【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣＝﹣a﹣，
纵坐标为：y＝＝﹣2a﹣，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
6、D
【分析】过B点作BD⊥AC于D，求得AB、AC的长，利用面积法求得BD的长，利用勾股定理求得AD的长，利用锐角三角函数即可求得结果．
【详解】过B点作BD⊥AC于D，如图，

由勾股定理得，
，，
∵，即，
在中，，，，
，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
7、D
【分析】根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，即可得出答案．
【详解】设B点坐标为（x，y），
由函数解析式可知，xy＝k＝－6，
则可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，
故选：D．

【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是理解图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．
8、C
【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；
②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；
③根据题目中的条件易证得，即可得证；
④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．
【详解】连接，

∵和为等边三角形，
∴，，
∵点分别为边的中点，
∴是等边三角形，
∴，，
∵

∴，
在和中，，
∴，
∴，
故①正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∴，
故④正确；
综上：①②④共3个正确.
故选：C
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．
9、A
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝6，
则k1﹣k2＝1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
10、D
【解析】试题解析：

故选D.
11、B
【分析】根据表中各对应点的特征和抛物线的对称性求出抛物线的解析式即可判断.得出c=3,抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下，
【详解】解：由题意得出：，解得，
∴抛物线的解析式为：
抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下
∵a=-1<0，∴选项A正确；
∵当时，的值先随值的增大而增大，后随随值的增大而增大，∴选项B错误；
∵当时，的值先随值的增大而增大，因此当x<0时，，∴选项C正确；
∵原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，选项D正确.
故答案为B.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目得出抛物线解析式是解题的关键.
12、A
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、.
【分析】根据余弦函数的定义可解.
【详解】解：根据余弦函数的定义可知,
所以AB=.
故答案是：.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，牢记定义是关键.三角函数的定义是本章中最重要最基础的知识点，一定要掌握.
14、
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴劣弧的长=.
故答案为：.

【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
15、-1．
【分析】根据x＝2y﹣1，可得：x﹣2y＝﹣1，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．
【详解】∵x＝2y﹣1，
∴x﹣2y＝﹣1，
∴4x﹣8y+9
＝4（x﹣2y）+9
＝4×（﹣1）+9
＝﹣12+9
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查的是求代数式的值，解题关键是由x＝2y﹣1得出x﹣2y＝﹣1.
16、
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5×1，
故答案为：5.5×1．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17、直径所对的圆周角是直角
【分析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直线a．
【详解】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，
所以∠PEA＝90°，
则PE⊥直线a，
所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．
18、（2，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反求解即可.
【详解】点P(－2，3)关于原点对称的点的坐标为（2，－3），故本题正确答案为（2，－3）.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的性质，掌握两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反是解决本题的关键.

三、解答题（共78分）
19、 (1);
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元;
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：．
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为2．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+2=150，解得x1=25，x2=3．
∵3＞28，∴x2=3不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
20、（1）2s（2）①证明见解析，②
【解析】试题分析：（1）由当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；
（2）①连接OF，由AC与半圆相切于点F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，继而证得EF平分∠AEC；②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的长，由EF平分∠AEC，易证得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，则可求得答案．
试题解析：(1)∵当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，
∴t=42=2(s)；
∴三角板运动的时间为：2s；
(2)①证明：连接O与切点F，则OF⊥AC，

∵∠ACE=90°，
∴EC⊥AC，
∴OF∥CE，
∴∠OFE=∠CEF，
∵OF=OE，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠CEF，
即EF平分∠AEC；
②由①知：OF⊥AC，
∴△AFO是直角三角形，
∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，
∴tan30°=3AF，
∴AF=3cm，
由①知：EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF=∠AEC=30°，
∴∠AEF=∠EAF，
∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，
∴EF=3cm.
21、（1）；（2）．
【分析】（1）由平行投影性质：平行长不变，可得A1B1=AB；
（2）过A作AH⊥BB1，在Rt△ABH中有AH=ABcos30°，从而可得A1B1的长度．
【详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点．
22、（1）直线BC与⊙O相切，理由详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义可得∠DAC=∠DAB，根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得，可得直线BC与⊙O相切；
（2）利用弧长公式可求出∠DOE=60°，根据∠DOE的正切可求出BD的长，利用三角形和扇形的面积公式即可得答案.
【详解】（1）直线与⊙O相切，理由如下：
连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线与⊙O相切.

（2）∵，劣弧的长为，
∴，
∴
∵，
∴，
∴.
∴BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积为.
【点睛】
本题考查切线的判定、弧长公式及扇形面积，经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线的圆的切线；n°的圆心角所对的弧长为l=（r为半径）；圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=（r为半径）；熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解题关键.
23、（1）x1=0，x2=﹣2；（2）x1=2，x2=2．
【分析】根据方程的特点可适当选择解方程的方法，利用因式分解法、配方法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）

或
所以，
（2）

，即

所以，
【点睛】
本题考查了解元二次方程的方法，能够根据题目的结构特点选择合适的方法解一元二次方程，熟悉直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法的具体步骤是解题的关键．
24、（1）b=2或b=；（2）x1=x2=2；
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，
∴
解得：b=2或b=．
（2）当b=2时，
此时x2-4x+4=0，
∴，
∴x1=x2=2；
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
25、（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）易证∠AGD=∠B，根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明△ADG∽△FEB；
（2）相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明:∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDA+∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠B=∠AGD，
且∠GDA=∠FEB=90°，
∴△ADG∽△FEB．
（2）解：∵△ADG∽△FEB，
∴,
∵AD＝2GD,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，求证△ADG∽△FEB是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据同角的余角相等推出，结合即可判定相似；
（2）根据条件可得CD=2，再利用相似三角形对应边成比例，建立方程即可求出DE.
【详解】解：（1），

又

（2）

，

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型的证明方法是解题的关键.