河北省唐山路北区七校联考2022年数学九年级第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（　　）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
2．若a，b是方程x2+2x-2016=0的两根，则a2+3a+b=（　　）
A．2016 B．2015 C．2014 D．2012
3．抛物线y=2(x－1)2－6的对称轴是( ).
A．x=－6 B．x=－1 C．x= D．x=1
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．40°
6．下列四种说法：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②将1010减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，……，依此类推，直到最后减去余下的，最后的结果是1；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
④对于任何实数x、y，多项式的值不小于1．其中正确的个数是（）
A．1 B．1 C．3 D．4
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
8．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°
9．反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A．9 B．12 C．-14 D．10
11．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：﹣tan60°＝_____．
14．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
15．已知关于x的方程的一个根是1，则k的值为__________．
16．某剧场共有个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少，求每行的座位数．如果设每行有个座位，根据题意可列方程为_____________．
17．如图，正方形ABCO与正方形ADEF的顶点B、E在反比例函数 的图象上，点A、C、D在坐标轴上，则点E的坐标是_____.

18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，我国海监船在处发现正北方向处有一艘可疑船只，正沿南偏东方向航行，我海监船迅速沿北偏东方向去拦裁，经历小时刚好在处将可疑船只拦截，已知我海监船航行的速度是每小时海里，求可疑船只航行的距离．

20．（8分）如图，于，以直径作，交于点恰有，连接．
（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接分别交，于点连接试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的基础上，若，求的长．
21．（8分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；
(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，求PD的长度最大时点P的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

24．（10分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
25．（12分）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

26．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC平分线，点E在AC边上，且∠AED=∠ADB．
求证：（1）△ABD∽△ADE； （2）AD2=AB·AE.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解
故选B．
2、C
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+2a-2016=0，即a2+2a=2016，则a2+3a+b化简为2016+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵a是方程x2+2x-2016=0的实数根，
∴a2+2a-2016=0，
∴a2=-2a+2016，
∴a2+3a+b=-2a+2016+3a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+2x-2016=0的两个实数根，
∴a+b=-2，
∴a2+3a+b=-2+2016=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．也考查了一元二次方程的解．
3、D
【解析】根据抛物线的顶点式，直接得出结论即可．
【详解】解：∵抛物线y=2（x-1）2-6，
∴抛物线的对称轴是x=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
4、D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
5、A
【解析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=∠AOB=30°．
【详解】解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C=∠AOB=30°．
故选A．

【点睛】
此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
6、C
【分析】画图可判断①；将②转化为算式的形式，求解判断；③是用频率估计概率的考查；④中配成平方的形式分析可得．
【详解】如下图，∠1=∠1，∠1+∠3=180°，即两边都平行的角，可能相等，也可能互补，①错误；

②可用算式表示为：，正确；
实验次数越多，则频率越接近概率，③正确；

∵≥0，≥0
∴≥1，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查平行的性质、有理数的计算、频率与概率的关系、利用配方法求最值问题，注意②中，我们要将题干文字转化为算式分析．
7、B
【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选B．
8、B
【解析】因为旋转后得到△AMN与△ABC相似,则∠AMN=∠C=40°,因为旋转前∠AMN=80°,所以旋转角度为40°,故选B.
9、A
【分析】分a>0和a<0两种情况，根据反比例函数与正比例函数的图象的性质判断即可．
【详解】解：当a>0时，反比例函数图象在一、三象限，正比例函数图象经过一、二、三象限；当a<0，反比例函数图象在二、四象限，正比例函数图象经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数与正比例函数图象的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
10、B
【解析】y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y= (x-1)2+2+2= (x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y= (x-1+3)2+4= (x-1+3 )2+4= (x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.
11、B
【解析】分析: 先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解.
详解: 列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率=．
故选B.
点睛：本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.
12、C
【分析】根据有理数的定义可找出，0，π，，6这5个数中0，6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率.
【详解】解：在，0，π，，6这5个数中0，6为有理数，
抽到有理数的概率是.
故选C.
【点睛】
本题考查了概率公式以及有理数,根据有理数的定义找出五个数中有理数的个数是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、2．
【分析】先运用二次根式的性质和特殊角的三角函数进行化简，然后再进行计算即可.
【详解】解：﹣tan60°
＝3﹣
＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了基本运算，解答的关键是灵活运用二次根式的性质对二次根式进行化简、牢记特殊角的三角函数值.
14、40
【分析】根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答案.
【详解】解：设建筑物的的高为x米，可得方程：
，解得：=40
答：此建筑物的高度为40米.
故答案是：40.
【点睛】
本题主要考察投影中的实际应用，正确理解相似三角形在平行投影中的应用是解题的关键.
15、-1
【分析】根据一元二次方程的定义，把x=1代入方程得关于的方程，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程，
得：1+k+3=0，
解得：k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16、x(x+12)=1
【分析】设每行有个座位，根据等量关系，列出一元二次方程，即可．
【详解】设每行有个座位，则总行数为(x+12)行，
根据题意，得：x(x+12)=1，
故答案是：x(x+12)=1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
17、
【分析】设点E的坐标为，根据正方形的性质得出点B的坐标，再将点E、B的坐标代入反比例函数解析式求解即可.
【详解】设点E的坐标为，且由图可知
则

点B的坐标为
将点E、B的坐标代入反比例函数解析式得：
整理得：
解得：或（不符合，舍去）
故点E的坐标为.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义与性质，利用正方形的性质求出点B的坐标是解题关键.
18、
【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．
【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．

图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M1M2∥N1N2，
∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，

过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即
，
四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴最大值为12+2×=12+．
故答案为：12+．
【点睛】
此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．

三、解答题（共78分）
19、70海里．
【分析】过作于点，分别利用三角函数解和，即可进行求解.
【详解】过作于点，

根据题意得： (海里) ，
在中，
(海里) ，
在中，
(海里) ，
答：可疑船只航行的距离为70海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
20、（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得，进而易证，再根据即可证明；
（2）由，可得，进而可知，再由同弧所对圆周角相等可得，再分别证明， ，从而可得，即可解决问题；
（3）设，，由，可得，可得，由，可得，设，，根据，可得，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）证明： 是直径，

，
∵，
，
，
，
，
又∵，
（AAS）．
（2）结论：．理由如下：
由（1）可得：，
，
，
是直径，

∴，
，
，
又∵，
∴，
∴
，
，，
，
，
．
（3）解：设，，

，
，

整理得，
或（舍弃），
，
，
又∵由（2）可知，
，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
【点睛】
本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；
（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.
【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率=.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22、（1）；（2）；（3）面积最大为，点坐标为；（4）存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，,点坐标为，，．
【分析】（1）将点，代入即可求解；
（2）BC与对称轴的交点即为符合条件的点，据此可解；
（3）过点作轴于点，交直线与点，当EF最大时面积的取得最大值，据此可解；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点N使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.分三种情况讨论.
【详解】解：(1) 抛物线过点，

解得：
抛物线解析式为．
(2) 点，
∴抛物线对称轴为直线
点在直线上，点，关于直线对称
，
当点、、在同一直线上时，最小．
抛物线解析式为，
∴C（0，-6），
设直线解析式为
，
解得：
直线：
，
，
故答案为：．
(3)过点作轴于点，交直线与点，
设，则
，

当时，面积最大为
，
此时点坐标为．
(4)存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
设N（x，y），M（，m），
①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，
∴y= = ，
∴N（，）；
②四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
③四边形CNMB是平行四边形时，CB∥MN，NC∥BM，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
点坐标为（，），（，），（，）．
【点睛】
本题考查二次函数与几何图形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想得到坐标之间的关系是解题的关键．
23、 (1)y=x2﹣4x+1；(2)PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)；(1)点M的坐标为M1(2，1)，M2(2，1﹣2)，M1(2，1+2)
【分析】（1）用待定系数法法求解；把已知点的坐标分别代入解析式可得；
（2）设P(m，m2﹣4m+1)，将点B(1，0)、C(0，1)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+1．过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，则D(m，﹣m+1)，PD==﹣(m﹣)2+，求函数最值可得．
（1）设存在以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E(2，1)，EF=CF=2，求出EC=2，根据菱形性质，ME=EC=2，可求出M的坐标；注意当EM=EF=2时，M(2，1).
【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A(1，0)和点B(1，0)，与
y轴交于点C，

∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+1；
(2)如图：
设P(m，m2﹣4m+1)，
将点B(1，0)、C(0，1)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+1．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D(m，﹣m+1)，
∴PD=(﹣m+1)﹣(m2﹣4m+1)=﹣m2+1m．
=﹣(m﹣)2+．
∴当m=时，PD有最大值．
当m=时，m2﹣4m+1=﹣．
∴P(，﹣)．
答：PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)．
(1)存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E(2，1)，
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，
∴M(2，1﹣2)或(2，1+2)
当EM=EF=2时，M(2，1)
答：点M的坐标为M1(2，1)，M2(2，1﹣2)，M1(2，1+2)．
【点睛】
考核知识点：二次函数解析式，二次函数的最值.理解二次函数性质，数形结合分析问题是解题的一般思路.
24、这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸到卡片字母相同的概率为： ；
∴小明胜的概率为 ，小亮胜的概率为 ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平.
故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【点睛】
本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.
25、证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．
26、 (1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析
【分析】试题分析：(1)、根据角平分线得出∠BAD=∠DAE，结合∠AED=∠ADB得出相似；(2)、根据相似得出答案.
【详解】试题解析：(1)、∵AD是∠BAC平分线 ∴∠BAD=∠DAE 又∵∠AED=∠ADB ∴△ABD∽△ADE
(2)、∵△ABD∽△ADE ，∴∴AD2=AB·AE.
考点：相似三角形的判定与性质