2022-2023学年廊坊三中数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜1；②方程ax2+bx+c＝1的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜1；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b＝1；⑥b2﹣4ac＞1．下列结论一定成立的是（ ）

A．①②④⑥ B．①②③⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④
2．如图所示几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
5．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
6．在开展“爱心捐助”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为3，5，6，5，6，5，5，10，这组数据的中位数是（ ）
A．3元 B．5元 C．5.5元 D．6元
7．已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则符合条件的所有m的和为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
9．以下四个图形标志中，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是关于的一个完全平方式，则的值是（ ）．
A．6 B． C．12 D．
11．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
12．关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a的最大值是（　　）
A．1 B．﹣4 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则_______．

14．圆心角为，半径为2的扇形的弧长是_______.
15．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
16．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．
17．如图,是正三角形，D、E分别是BC、AC 上的点，当=_______时，~.

18．将抛物线y＝－5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？
（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数在第一象限的图象交于点，轴于点，.

（1）求点的坐标；
（2）动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若，求点的坐标.
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．
（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；
（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；
（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．
22．（10分）如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
23．（10分）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).
(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.
(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.
(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.
24．（10分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，3），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．

（1）求曲线的表达式；
（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．
①当时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）
②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
26．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据二次函数图象和性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
根据图像分析，抛物线向上开口，a＞1；抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，c<1；坐标轴在右边，根据左同右异，可知b与a异号，b<1;与坐标轴有两个交点，那么△>1，根据这些信息再结合函数性质判断即可.
【详解】解：
①由图象可得，a＞1，c＜1，∴ac＜1，故①正确，
②方程当y=1时，代入y=ax2+bx+c，求得根是x1=-1，x2=3，故②正确，
③当x=1时，y=a+b+c＜1，故③正确，
④∵该抛物线的对称轴是直线x=
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误，
⑤则2a=-b,那么2a+b=1，故⑤错误，
⑥∵抛物线与x轴两个交点，∴b2-4ac＞1，故⑥正确，
故正确的为. ①②③⑥选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
2、B
【解析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．再对选项进行分析即可得到答案.
【详解】根据俯视图的特征，应选B．故选：B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．
3、A
【分析】根据位似比为，可得，从而得：CE=DE=12，进而求得OC=6，即可求解．
【详解】∵等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，即：DE=3BC=12，
∴CE=DE=12，
∴，解得：OC=6，
∴OE=6+12=18，
∴点的坐标是：．
故选A．
【点睛】
本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．
4、A
【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．
【详解】由三角形的面积公式可知，CD•AB=AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．
5、B
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
6、B
【分析】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间两个位置的数的平均数为中位数．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中间两个位置的数是5和5，所以中位数为（5+5）÷2=5（元），
故选：B．
【点睛】
本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
7、C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，不等式组整理后表示出解集，由整数解之和恰好为10确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【详解】解：，
分式方程去分母得：mx+2x-12=3x-9，
移项合并得：（m-1）x=3，
当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0，即m≠1时，解得：x=，
由分式方程无解，得到：或，
解得：m=2或m=，
不等式组整理得：
，
即0≤x＜，
由整数解之和恰好为10，得到整数解为0，1，2，3，4，
可得4＜≤5，
即，
则符合题意m的值为1和，之和为．
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8、C
【解析】根据圆周角的定义来判断即可. 圆周角必须符合两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交，二者缺一都不是.
【详解】解：圆周角的定义是：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角叫圆周角.
A、图中的角的顶点不在圆上，不是圆周角;
B、图中的角的顶点也不在圆上，不是圆周角;
C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角;
D．图中的角的顶点在圆上，而两边与圆不相交，不是圆周角;
故选：
【点睛】
本题考查了圆周角的定义.圆周角必须符合两个条件.
9、C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项逐一分析判断即可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、是中心对称图形，故本选项符合题意，
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、B
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故m=±1．
【详解】∵（x±3）2=x2±1x+32，
∴是关于的一个完全平方式，
则m=±1．
故选：B．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
11、C
【解析】试题分析：“+”表示收入，“—”表示支出，则—80元表示支出80元.
考点：相反意义的量
12、D
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，
∴a≤4且a≠0，
所以a的最大值为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据题意求得，根据平行线分线段成比例定理解答．
【详解】∵，
∴=1，
∵l1∥l1∥l3，
∴==1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14、
【分析】利用弧长公式进行计算.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查弧长的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.
15、k≥-1
【解析】首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
16、15或10
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD=，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD-CD=4，
∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
17、60°
【分析】由△ABC是正三角形可得∠B=60°，又由△ABD∽△DCE，根据相似三角形的对应角相等，即可得∠EDC=∠BAD，然后利用三角形外角的性质，即可求得∠ADE的度数
【详解】∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠EDC=∠BAD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠ADE=∠B=60°，
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中．
18、y＝－5（x+2）2－1
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-1），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-1．
故答案为：y=-5（x+2）2-1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）20；（2）65，1．
【分析】（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数列方程，即可得到结论；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，根据题意先列出函数解析式，再由函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【详解】解：（1）设每件商品涨价x元，
根据题意得，（60-40+x）（300-10x）=4000，
解得：x1=20，x2=-10，（不合题意，舍去），
答：每件商品涨价20元时，每星期该商品的利润是4000元；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，
∴W=（60-40+m）（300-10m）=-10m2+100m+6000=-10（m-5）2+1
∴当m=5时，W最大值．
∴60+5=65（元），
答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为1元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
20、（1）；（2）或
【分析】（1）根据反比例函数表达式求出点C坐标，再利用“待定系数法”求出一次函数表达式，从而求出坐标；
（2）根据“P在轴上，轴交反比例函数的图象于点”及k的几何意义可求出△POQ的面积，从而求得△PAC的面积，利用面积求出点P坐标即可.
【详解】解：（1）∵轴于点，，
∴点C的横坐标为2，
把代入反比例函数，得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴；
（2）∵轴，点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴或.
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，要熟练掌握“待定系数法”求表达式及反比例函数中k的几何意义，在利用面积求坐标时要注意多种情况.
21、（3）-3；（2）k＞2，见解析；（3）a＞3或a＜﹣3
【分析】(3)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；
(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；
(3)根据题意，分a大于2和a小于2两种情况讨论即可得a的取值范围．
【详解】解：(3)当a＝2，m＝﹣5时，
y＝x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣3
所以抛物线的最小值为﹣3．
(2)当a＝2时，
y＝x2﹣4x+m
因为该抛物线与坐标轴有两个交点，
①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点
∴△=36-4m=2，
∴m=4，
∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2
沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，
则k＞2；
②该抛物线与x轴、y轴交于原点，
即m=2，
∴y＝x2﹣4x
∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，
∴y＝x2﹣4x+k
此时△＜2，
即36﹣4k＜2
解得k＞4;
综上，k＞2时，函数沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点；
(3)当m＝2时，y＝x2﹣2ax
抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（2，2）（2a，2），a≠2．
直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣3）和该抛物线交于P，Q两点，
平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，
①当a＞2时，如图3所示，

此时，当x＝2时，2﹣a+3＜2，解得a＞3；
②当a＜2时，如图2所示，

此时，当x＝2a时，2a﹣a+3＜2，解得a＜﹣3．
综上：a＞3或a＜﹣3．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.
22、一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【分析】可设较短的直角边为未知数x，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm．
根据题意列方程，得
．
解方程，得：x1=6，x2=（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．
23、（1）不在；（2）；；（3）
【解析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；
（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；
（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.
【详解】（1）二次函数图像过点
代入得，
，代入得
将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；
（2）由（1）知，
与x轴只有一个交点
只有一个实数根
，或
当时，，所以表达式为：
当时，，所以表达式为：；
（3）
对称轴为
当时，函数图象如下：

若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧
，
当时，函数图象如下：

，此时，必小于
综上，所求的a的取值范围是：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.
24、（1）；（2）点P的坐标为（﹣，0）；（3）1
【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）先求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，再求出AD所在直线的解析式，进而即可求解；
（3）设直线AB与y轴交于E点，根据S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE，即可求解．
【详解】（1）将点A(﹣1，3)代入y＝得：3＝，解得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
（2）把B(b，1)代入y＝x+1得：b+1＝1，解得：b＝﹣3，
∴点B的坐标为(﹣3，1)，
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图，
∵点B的坐标为(﹣3，1)，
∴点D的坐标为(﹣3，﹣1)．
设直线AD的函数表达式为：y＝mx+n，
将点A(﹣1，3）、D(﹣3，﹣1)代入y＝mx+n，得，解得，
∴直线AD的函数表达式为：y＝2x+5，
当y＝0时，2x+5＝0，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为(﹣，0)；
（3）设直线AB与y轴交于E点，如图，
令x＝0，则y＝0+1＝1，则点E的坐标为(0，1)，
∴S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE＝×1×3﹣×1×1＝1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质与一次函数的综合，掌握“马饮水”模型和割补法求面积，是解题的关键．
25、（1）y=；（2）①3；②-1≤a-
【分析】（1）由题意代入A点坐标，求出曲线的表达式即可；
（2）①当时，根据图像直接写出图象G上的整数点个数即可;
②当图象G内只有3个整数点时，根据图像直接写出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵A（1,1），
∴k=1，
∴．
（2）①观察图形时，可知个数为3；
②观察图像得到．
【点睛】
本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.
26、（1）；见解析；（2）；见解析；（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣1）或（﹣，﹣）或（，）；详解解析．
【分析】（1）＝0，则根据根与系数的关系有AB＝，即可求解；
（2）设点E，点F，四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN，即可求解；
（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）依题意得：=0，
则，
则AB＝，
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：…①；
（2）由得：点A、B、C的坐标分别为：、，
设点E，OA＝OC，故直线AC的倾斜角为15°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F，点M、N的坐标分别为：、，
则EF＝，
四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN＝，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝，
故点E的横坐标为：；
（3）①当点Q在第三象限时，当QC平分四边形面积时，
则，故点Q；
当BQ平分四边形面积时，
则，
则，
解得：，故点Q；
②当点Q在第四象限时，
同理可得：点Q；
综上，点Q的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（1）（3）都要注意分类求解，避免遗漏．