2023届山东省菏泽市牡丹区数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）

A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2 ＝S3
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角(0°＜＜90°)得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角度数为________，△ADF是等腰三角形．

A．20° B．40° C．10° D．20°或40°
3．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（ ）
A．0 B． C． D．
5．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）

A．6 B． C． D．
6．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
8．若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
9．下列图案中，是中心对称图形的是( )
A． B．  C． D．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
11．己知a、b、c均不为0,且,若，则k=（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．21个 B．14个 C．20个 D．30个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM= cm.
14．数据1、2、3、2、4的众数是______．
15．如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则_____.

16．计算：sin30°＋tan45°＝_____．
17．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S1．若S=1，则S1+S1= ．

18．在平面直角坐标系中，解析式为的直线、解析式为的直线如图所示，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，……顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为______．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．
20．（8分）已知a＝，b＝，求．
21．（8分）如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

22．（10分）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，连接，的平分线交于点.
（1）若，求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长.

23．（10分）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草莓的销售价p（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示设第x天的日销售额为w（单位：元）

（1）第11天的日销售额w为　 　元；
（2）观察图象，求当16≤x≤20时，日销售额w与上市时间x之间的函数关系式及w的最大值；
（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15元，马叔叔到市场按照当日的销售价p元千克将批发来的草莓全部售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为　 　．

25．（12分）如图，在中 ，连接，点,分别是的点（点不与点重合），,相交于点.
(1)求，的长；
(2)求证：～；
(3)当时，请直接写出的长.

26．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．

（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．
2、D
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【详解】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=（180°-α），
∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，
（180°-α）=（180°-α）-30°，无解，
②∠ADF=∠AFD时，
（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，
（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
3、B
【分析】根据切线的性质可得: ∠BAP=90°,然后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC,最后根据圆周角定理即可求出．
【详解】解:∵直线与圆相切
∴∠BAP=90°
∵
∴∠AOC=180°－∠BAP－∠P=48°
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是切线的性质和圆周角定理,掌握切线的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
4、C
【详解】解：是关于的一元二次方程，则
解得m≠
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念，注意二次项系数不能为零．
5、B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
6、B
【解析】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
7、D
【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．
【详解】解：如图所示，
在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,
∴AC== =5
∴= = .
故选D.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．
8、A
【分析】根据反比例函数的定义，得，分别判断各点的乘积是否等于，即可得到答案.
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴；
∵，故A符合题意；
∵，，，故B、C、D不符合题意；
故选：A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握.
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可.
【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
10、D
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11、D
【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.
【详解】∵
∴，，
三式相加得，
∵
∴k=3.
故选D.
【点睛】
本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.
12、A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得：
解得：x＝21，
经检验，x=21是原方程的解
故红球约有21个，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、3
【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M为中点的弦，所以此时
考点：弦心距与弦、半径的关系
点评：
14、1
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：数据1、1、3、1、4中，
∵数字1出现了两次，出现次数最多，
∴1是众数，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
15、2.
【解析】试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因为AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案为2.
考点：相似三角形的判定与性质.
16、
【详解】解：sin30°＋tan45°＝
【点睛】
此题主要考察学生对特殊角的三角函数值的记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值,必须正确、熟练地进行记忆．
17、2．
【详解】∵E、F分别为PB、PC的中点，∴EFBC．∴ΔPEF∽ΔPBC．∴SΔPBC=4SΔPEF=8s．
又SΔPBC=S平行四边形ABCD，∴S1+S1=SΔPDC＋SΔPAB=S平行四边形ABCD=8s=2．
18、
【分析】由题意利用一次函数的性质以及等边三角形性质结合相似三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】解：将代入分别两个解析式可以求出AO=1，
∵为边作第一个等边三角形，
∴BO=1，
过B作x轴的垂线交x轴于点D，

由可得，即，
∴，，即B的横轴坐标为，
∵与轴平行，
∴将代入分别两个解析式可以求出，
∵,
∴，即相邻两个三角形的相似比为2，
∴第2020个等边三角形的边长为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查一次函数图形的性质以及等边三角形性质和相似三角形的性质的综合问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）k≥；（2）1
【分析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出，，再由代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣1（k2+1）=2k﹣3≥0，
解得，
∴k的取值范围为k≥．
（2）∵由根与系数的关系，得x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1 ，
∵x12+x22=6x1x2﹣15，
∴（x1+x2）2﹣8x1x2+15=0，
∴k2﹣2k﹣8=0，解得：k1=1，k2=﹣2 ，
又∵k≥，
∴k=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．
20、1．
【分析】先对已知a、b进行分母有理化，进而求得ab、a-b的值，再对进行适当变形即可求出式子的值．
【详解】解：∵a＝，b＝，
∴a＝+2，b＝﹣2，
∴ab＝1，a﹣b＝4，
∴
＝
＝
＝1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的方法．
21、点E离地面的高度为8.1米
【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，根据题意，在Rt△ABF中，求出AF，从而得到EF，结合Rt△EFH，求出EH即可求得结果．
【详解】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，
∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，
∴Rt△ABF中，AF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米)，
∴EF=AF+AD+DE=8.5，
∵∠EHF=90°=∠BAF，∠BFA=∠EFH，
∴∠E=37°，
∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米)，
又∵底边AB离地面的距离为1.3米，
∴点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1(米)，
故答案为：8.1米．

【点睛】
本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用，同角的余角相等，仰角的定义，掌握锐角三角函数值的应用是解题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，利用直径所对的圆周角是直角，结合半径相等，利用等边对等角，证得∠OCE=90，即可证得结论；
（2）连接DB，证得△ADB为等腰直角三角形，可求得直径的长，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】（1）连接OC，

∵是的直径，
∴∠ACB=90，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠BAC=∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB=90，
∴∠BCE +∠OCB=90，
∴∠OCE=90，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接DB，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理的应用，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
23、（1）1980；（2）w＝﹣5（x﹣1）2+180， w有最大值是680元；（3）112元
【分析】（1）当3≤x＜16时，设p与x的关系式为p＝kx＋b，当x＝11时，代入解析式求出p的值，由销售金额＝单价×数量就可以求出结论；
（2）根据两个图象求得两个一次函数解析式，进而根据销售问题的等量关系列出二次函数解析式即可；
（3）当x＝15时代入（2）的解析式求出p的值，再当x＝15时代入（1）的解析式求出y的值，再由利润＝销售总额−进价总额−车费就可以得出结论．
【详解】解：（1）当3≤x≤16时设p与x之间的函数关系式为p＝kx+b
依题意得把（3，30），（16，17）代入，
解得
∴p＝﹣x+33
当x＝11时，p＝22
所以90×22＝1980
答：第11天的日销售额w为1980元．
故答案为1980；
（2）当11≤x≤20时设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，
依题意得把（20，0），（11，90）代入得
解得
∴y＝﹣10x+200
当16≤x≤20时设p与x之间的函数关系式为：p＝k2x+b2
依题意得，把（16，17），（20，19）代入得

解得k2＝，b2＝9：
∴p＝x+9
w＝py＝（x+9）（﹣10x+200）
＝﹣5（x﹣1）2+1805
∴当16≤x≤20时，w随x的增大而减小
∴当x＝16时，w有最大值是680元．
（3）由（1）得当3≤x≤16时，p＝﹣x+33
当x＝15时，p＝﹣15+33＝18元，
y＝﹣10×15+200＝50千克
利润为：50（1﹣2%）×18﹣50×15﹣20＝112元
答：当天能赚到112元．
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据题意分别列出一次函数与二次函数求解.
24、（1）y＝x+2；（2）3；（3）（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
【分析】（1）把C点坐标代入正比例函数解析式可求得m，再把A、C坐标代入一次函数解析式可求得k、b，可求得答案；
（2）先求出点B的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由题意可分AB为直角边和AB为斜边两种情况，当AB为直角边时，再分A为直角顶点和B为直角顶点两种情况，此时分别设对应的D点为D2和D1，过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，可证明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐标，同理可求得D2的坐标，AD1与BD2的交点D3就是AB为斜边时的直角顶点，据此即可得出D点的坐标．
【详解】（1）∵点C（m，4）在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝4，
解得：m＝3，
∴C（3，4），
∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）在y＝x+2中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2），
∴S△BOC＝×2×3＝3；
（3）分AB为直角边和AB为斜边两种情况，
当AB为直角边时，分A为直角顶点和B为直角顶点两种情况，
如图，过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BD1，
∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBD1，
∵在△BED1和△AOB中，
，
∴△BED1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，
∴OE=OB+BE=2+3=5，
∴点D1的坐标为（﹣2，5）；
同理可得出：△AFD2≌△AOB，
∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，
∴点D2的坐标为（﹣5，3），
当AB为斜边时，如图，
∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，
∴∠AD3B＝90°，
设AD1的解析式为y=k1x+b1，
将A（-3，0）、D1（-2，5）代入得，
解得：，
所以AD1的解析式为：y=5x+15，
设BD2的解析式为y=k2x+b2，
将B（0，2）、D2（-5，3）代入得，
解得：，
所以AD2的解析式为：y=x+2，
解方程组得：，
∴D3（，），
综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．
故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

【点睛】
本题考查了一次函数与几何综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，直线交点坐标，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用．
25、（1）AD=10，BD=10；（2）见解析；（3）AG=．
【分析】（1）由可证明△ABC∽△DAC，通过相似比即可求出AD，BD的长；
（2）由（1）可证明∠B=∠DAB，再根据已知条件证明∠AFC=∠BEF即可；
（3）过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，根据平行线的性质得到，计算出CH和AH的值，由已知条件得到≌，设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，再由平行线的性质得到，表达出即可解出x，即AG的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，即，
解得：CD=8，AD=10，
∴BD=BC-CD=18-8=10，
∴AD=10，BD=10；
（2）由（1）可知，AD=BD=10，
∴∠B=∠DAB，
∵∠AFE=∠B+∠BEF，
∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，
∵，
∴∠AFC=∠BEF，
又∵∠B=∠DAB，
∴～；
（3）如图，过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，
∴，
即，解得：CH=12，HD=8，
∴AH=AD+HD=18，
若，
则≌；
∴BF=AG，
设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，
∵CH∥AB，
∴，即，
解得：，（舍去）
∴AG=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似三角形的判定，并灵活作出辅助线．
26、（1）证明见解析；（1）CD＝1．
【解析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（1）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝1．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.