2022-2023学年福建省泉州市泉港一中学、城东中学数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
2．已知点都在反比例函数的图像上，那么（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
5．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则=（　　）
A． B．1 C． D．
6．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为( )

A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．8
8．的值等于（　　）
A． B． C． D．1
9．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（   ）
A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
10．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（　　）米．

A．30 B．30﹣30 C．30 D．30
11．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是（　　）

A．150° B．120° C．105° D．75°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为3,到轴的距离为4,则点的坐标为______．
14．如图，一下水管横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面上升了，则水面宽为__________．

15．已知△ABC 与△DEF 相似，相似比为 2：3，如果△ABC 的面积为 4，则△DEF 的面积为_____．
16．如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为.则的面积关于的函数图象大致为__________.

17．设、是关于的方程的两个根，则__________．
18．若，则=______
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）解方程
（2）计算
20．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．

22．（10分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.

(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.
23．（10分）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
24．（10分）如图，折叠边长为的正方形，使点落在边上的点处（不与点，重合），点落在点处，折痕分别与边、交于点、，与边交于点.证明：

（1）；
（2）若为中点，则；
（3）的周长为.
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为　　　　　　．

26．已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．

（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；
（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；
（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．
【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=10°, ∵OA=OF, ∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.

所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.
2、C
【分析】由反比例函数的比例系数为正，那么图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m和n的大小关系．
【详解】解：∵点A（m，1）和B（n，3）在反比例函数（k＞0）的图象上，
1＜3，
∴m＞n．
故选：C．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k＞0，图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
3、B
【分析】根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，
∴，即，
，
∴=1,
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理．
4、C
【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，
∵AD//BC，
∴△EFB∽△EDC，
∴，即，
∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．
故选C．
5、B
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-1，x1•x2=-1，然后把进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．
【详解】根据题意得x1+x2=-1，x1•x2=-1，
所以==1，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=.
6、C
【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.
【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，
阴影部分面积为，所以，P落在三角形内的概率是.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.
7、B
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】连接OA，OC，过O作OE⊥AC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：B．
【点睛】
此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D=60°．
8、B
【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.
【详解】sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9、D
【解析】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故不正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活” ，故不正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故不正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
10、B
【分析】在Rt△BCD中,解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．
【详解】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵tan∠DBC=，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴甲建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD-DF=（30-30）m，
∴乙建筑物的高度为（30-30）m．
故选B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
11、B
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9，故答案选择B.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.
12、C
【解析】试题解析：连接AC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°，
∴∠ACD=15°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，
故选C．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、（-4,3）
【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为4，
点的横坐标为，纵坐标为3，
点的坐标为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
14、1
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【详解】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC

∵AB=60cm，OE⊥AB，且直径为100cm，
∴OA=50cm，AE=
∴OE=，
∵水管水面上升了10cm，
∴OF=40-10=030cm，
∴CF=，
∴CD=2CF=1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
15、1
【解析】由△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得它们的面积比是4：1，又由△ABC的面积为4，即可求得△DEF的面积．
【详解】∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：1，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为：4×=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理．
16、抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

∵
∴△AEF∽△ABC
∴即，
∴y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
∴该函数图象是抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分．
故答案为：抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图象能力．要能根据函数解析式及其自变量的取值范围分析得出所对应的函数图像的类型和所需要的条件，结合实际意义分析得解．
17、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
18、
【分析】可设x=4k，根据已知条件得到y=3k，再代入计算即可得到正确结论．
【详解】解：∵ ，
∴y=3k，x=4k；
代入=
故答案为
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）1.
【分析】（1）根据因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）分别计算绝对值，特殊角的三角函数，二次根式，负整数指数幂，然后再进行合并，即可得到答案.
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2），

.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及实数混合运算的运算法则.
20、（4）60；（4）作图见试题解析；（4）4．
【解析】试题分析：（4）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；
（4）利用（4）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；
（4）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．
试题解析：（4）被调查的学生人数为：44÷40%=60（人）；
（4）喜欢艺体类的学生数为：60-44-44-46=8（人），
如图所示：

全校最喜爱文学类图书的学生约有：4400×=4（人）．
考点：4．条形统计图；4．用样本估计总体；4．扇形统计图．
21、（1）C（m，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x3﹣3mx+m3﹣1＝（x﹣m）3﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（3）把A（0，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝m3﹣1，
解得 m＝±3．
把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，
即m3﹣3m＝0，
解得m＝0 或m＝3．
结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．

【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
22、 (1)；(2)的最大值为.
【分析】（1）根据A,B两点坐标可得出函数表达式；
（2）设点，根据列出S关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.
【详解】解：（1）将A,B两点的坐标代入解析式得，解得
故抛物线的表达式为：；
（2）连接，设点，
由（1）中表达式可得点，
则
，
∵，故有最大值，当时，的最大值为.

【点睛】
本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.
23、（1）详见解析
（2）。
【解析】试题分析：（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可。
（2）根据概率公式列式计算即可得解。　
解：（1）画树状图表示如下：

抽奖所有可能出现的结果有12种。
（2）∵由（1）知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
∴抽奖人员的获奖概率为P。
24、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）根据折叠和正方形的性质结合相似三角形的判定定理即可得出答案；
（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可得出答案；
（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为折痕，
∴，
∴，
∴，
在与中
∵，，
∴；
（2）∵为中点，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，，
∴；
（3）设，则，，
在中，，
∴，即，
解得：，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的综合，涉及的知识点有折叠的性质、正方形的性质、勾股定理和相似三角形，难度系数较大.
25、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（1，0）
【分析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；
（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案．
【详解】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；
（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，
连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0），
故答案为（1，0）．

【点睛】
本题考查作图-旋转变换；作图-平移变换，掌握图形变化特点，数形结合思想解题是关键．
26、（1）第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，当h＝时，S的最大值为，此时点P（，﹣ ）．
【分析】（1）对抛物线解析式进行变形，使a的系数为0，解出x的值，即可确定点C的坐标；
（2）设函数对称轴与x轴交点为M，根据抛物线的对称轴可求出M的坐标，然后利用勾股定理求出CM的长度，再利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求出AB的长度，则A,B两点的坐标可求，再将A,B两点代入解析式中即可求出a的值；
（3）过点E作EF⊥PH于点F，先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将P,D的坐标用含h的代数式表示出来，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解
【详解】（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，
令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，
故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；
（2）函数的对称轴为：x＝，

设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），
则由勾股定理得CM＝，
则AB＝2CM＝ ，
∴
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；
将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，
解得：a＝ ，
函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣ ；
（3）过点E作EF⊥PH于点F，
设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，

设直线BC的解析式为
将点B、C坐标代入一次函数表达式
得 解得：
∴直线BC的表达式为：，
设点P（h，），则点D（h，），
故tan∠ABC＝tanα＝ ，则sinα＝ ，
yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinα•sinα，
S＝S△ABE﹣S△ABD
＝×AB×（yD﹣yE）
＝

∵﹣＜0，
∴S有最大值，当h＝ 时，S的最大值为：，此时点P（）．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合题，掌握二次函数的图象和性质，勾股定理，待定系数法是解题的关键.