2023届江苏省镇江市京口中学数学九年级第一学期期末监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．函数y＝kx﹣k（k≠0）和y＝﹣（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( )

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
3．如图，AB切⊙O于点B，C为⊙O上一点，且OC⊥OA，CB与OA交于点D，若∠OCB＝15°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
4．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是　　

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝1﹣x2 D．y＝
6．已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
7．关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ）
A．开口方向向上 B．对称轴是直线x=l
C．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
8．在中，，垂足为D，则下列比值中不等于的是（ ）

A． B． C． D．
9．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（　　）
A．2：3 B．： C．4：9 D．9：4
10．在圆内接四边形中，与的比为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是_____．

12．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______．
13．如图，的顶点均在上，，则的半径为_________．

14．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
15．因式分解：_______________________．
16．某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“金沙绿岛”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9，利用上述数据估计该小区500户家庭一周内需要环保方便袋__________只．
17．掷一枚硬币三次，正面都朝上的概率是__________．
18．如图，，，与交于点，则是相似三角形共有__________对．

三、解答题(共66分)
19．（10分）在如图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

（1） 观察图形，请填写下列表格：
正方形边长

1

3

5

7

…

n(奇数)

黑色小正方形个数

…

正方形边长

2

4

6

8

…

n(偶数)

黑色小正方形个数

…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
20．（6分）有一张长，宽的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）.若纸盒的底面积为，求纸盒的高.

21．（6分）如图，是的直径，过的中点．，垂足为．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的直径为，求的长及的值．

22．（8分）如图，的直径，半径，为上一动点（不包括两点），，垂足分别为．

（1）求的长．
（2）若点为的中点，
①求劣弧的长度，
②者点为直径上一动点，直接写出的最小值．
23．（8分）平行四边形中，点为上一点，连接交对角线于点，点为上一点，于，且，点为的中点，连接；若．

（1）求的度数；
（2）求证：
24．（8分）如图，中，，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连结.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.

25．（10分）武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、小柯、小刘都要参加本次考查．
（1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验A考查的概率；
（2）他们三人中至少有两人参加实验B的概率　 　（直接写出结果）．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交于点C(0，)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为　 　；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；
由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一次函数与反比例函数图像综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数系数与图像的关系．
2、C
【解析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．
【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，
∴ ．
∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．
设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，
∵E为AD中点，
∴△DEC面积=△AEC面积=3x．
∴四边形FCDE面积为1x，
所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．

故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．
3、B
【分析】连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB的长已知，所以⊙O的半径可求出．
【详解】连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，
∴∠CDO＝∠ADO＝75°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBD＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝∠ABD＝75°，
∴∠A＝30°，
∴BO＝AO，
∵AB＝2，
∴BO2+AB2＝4OB2，
∴BO＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：B．

【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．
4、D
【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．
5、C
【解析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；
B、由已知函数解析式得到：y＝－2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数不是二次函数，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
6、B
【解析】试题分析：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），
∴k=2×3=6，
A、∵（﹣6）×1=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
B、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上；
C、∵2×（﹣3）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
D、∵3×（﹣2）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
7、D
【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可．
【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2，
a=3>0，抛物线开口向上，A正确，
x=1是对称轴，B正确，
抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确，
由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题．
8、D
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【详解】在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝，
故选：D．
【点睛】
此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
9、C
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
10、C
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．
【详解】∵在圆内接四边形ABCD中，：＝3：2，
∴∠B：∠D＝3：2，
∵∠B＋∠D＝180°，
∴∠B＝180°×＝．
故选C.

【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】作PE⊥OA,再根据角平分线的性质得出PE=PD即可得出答案．
【详解】过P作PE⊥OA于点E，

∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝1，
∴PE＝1，
∴点P到边OA的距离是1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查角平分线的性质,关键在于牢记角平分线的性质并灵活运用．
12、
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5=Fl，
则．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
13、1
【分析】连接AO,BO，根据圆周角的性质得到,利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】连接AO,BO，
∵
∴
又AO=BO
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1
即的半径为1
故答案为1．

【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．
14、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
【点睛】
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
15、
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.
【详解】解：
【点睛】
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.
16、3500
【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数500即可解答.
【详解】由10户家庭一周内使用环保方便袋的数量可知平均每户一周使用的环保方便袋的数量为
则该小区500户家庭一周内需要环保方便袋约为，
故答案为3500.
【点睛】
本题考查的是样本平均数的求法与意义，能够知道平均数的计算方法是解题的关键.
17、
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式，即可求解.
【详解】画树状图如下：

∵掷一枚硬币三次，共有8种可能，正面都朝上只有1种，
∴正面都朝上的概率是：.
故答案是：
【点睛】
本题主要考查求简单事件的概率，画出树状图，是解题的关键.
18、6
【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为，，所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6中组合，据此可得出答案.
【详解】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，
∵，，
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：
△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，
△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA
故答案为6.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）1，5，9，13，…，则（奇数）2n-1；4，8，12，16，…，则（偶数）2n（2）存在偶数n=12使得P2=5P1
【解析】（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；当n是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的偶数．
（2）分别表示偶数时P1和P2的值，然后列方程求解，进行分析
【详解】(1)1,5,9,13,…,则(奇数)2n−1；
4,8,12,16,…,则(偶数)2n.
(2)由上可知n为偶数时P1=2n,白色与黑色的总数为n2，
∴P2=n2−2n，
根据题意假设存在,则n2−2n=5×2n，
n2−12n=0，
解得n=12,n=0(不合题意舍去).
故存在偶数n=12,使得P2=5P1.
20、纸盒的高为.
【分析】设纸盒的高是，根据题意，其底面的长宽分别为（40-2x）和（30-2x），根据长方形面积公式列方程求解即可.
【详解】解：设纸盒的高是.
依题意，得.
整理得.
解得，（不合题意，舍去）.
答：纸盒的高为.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意用含x的式子表示底面的长和宽，正确列方程，解方程是本题的解题关键.
21、（1）见解析；（2），
【分析】（1）欲证直线是的切线，需连接OD,证∠EDO=90°，根据题意，利用平行线的性质即可证得；
（2）先构造直角三角形，需要连接AD，利用三角形的面积法来求出DE的长，再在Rt△ADC中来求．
【详解】(1) 证明：如图，连接.

为的中点，为的中点
,
又.
.
是圆的切线
（2）解：连.
是直径，
.
为的中点，

在中

在中

由面积法可知

即

在中
.
【点睛】
本题考查了切线的判定定理及直角三角形直角边与斜边的关系，证明圆的切线的问题常用的思路是根据利用切线的判定定理转化成证垂直的问题；求线段长和三角函数值一般应构造相应的直角三角形．
22、（1）（2）①②
【分析】（1）求出圆的半径，再判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等解答即可；
（2）①根据线段中点的定义得到OE=OC=OD，根据三角形的内角和得到∠DOE=60°，于是得到结论；
②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值等于DG长，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵的直径，
∴圆的半径为.
∵，
∴四边形是矩形，
∴.
（2）①∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为.
②.
延长交于点，连接交于点，
则的最小值为.
∵，，
∴，
∴的最小值为.

【点睛】
本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
23、（1）30° （2）证明见解析
【分析】（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明，可得，再根据求解即可；
（2）延长FE至点N，使，连接AN，通过证明，可得，再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证．
【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形

∵M为AD的中点

即

即

；
（2）延长FE至点N，使，连接AN，由（1）知，

．

【点睛】
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）1.
【分析】（1）连接OD，OE，BD，证△OBE≌△ODE（SSS），得∠ODE=∠ABC=90°；（2）证△DEC为等边三角形，得DC=DE=2.
【详解】（1）证明：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=10°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=1．
【点睛】
考核知识点：切线的判定和性质.
25、（1）；（2）
【分析】（1）先画出树状图，得出所有等情况数和小孟、小柯都参加实验A考查的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据每人都有2种选法，得出共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）画树状图如图所示：

∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种，
∴小孟、小柯都参加实验A考查的概率为．
（2）共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种，
所以他们三人中至少有两人参加实验B的概率是.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数据统计的知识，中考必考题型，重点需要掌握树状图的画法.
26、（1）；（2）①(2，)；②点E(2，)．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；
（2）①点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；
②t＝AE+DE，t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，即可求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，
故﹣5a＝，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，
由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
故答案为：(2，)；
②t＝AE+DE，
过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝DE，

t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，
则直线A(E)H的倾斜角为：30°，
直线AH的表达式为：y＝ (x+1)
当x＝2时，y＝，
故点E(2，)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．