2022-2023学年河北省沽源县数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(    )
A．15                               B．12                               C．9                        D．6
2．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
4．若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　
A．24 B．24或 C．48或 D．
6．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，与双曲线恰好交于的中点. 若，则的值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
7．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（　　）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定
8．下列说法正确的是 （ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D．明天太阳从东方升起是随机事件
9．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．0
10．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是_____．
12．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点B（3，1），,（6，2），若点（5，6），则点的坐标为________．

13．分解因式：x3﹣16x＝______．
14．经过点的反比例函数的解析式为__________．
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　 　．

16．如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点在边上，则的值为__________ ．

17．分式方程的解是__________．
18．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED＝DC；
（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．

20．（6分）解下列方程：（1）；（2）
21．（6分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

22．（8分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，3），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
23．（8分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x≤100
b
c
合计
■
1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．

25．（10分）如图，为的直径，为上的两条弦，且于点，，交延长线于点，．

（1）求的度数；
（2）求阴影部分的面积
26．（10分）如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据三角函数的定义直接求解.
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，
∵，
∴，
解得AB＝1．
故选A
2、B
【分析】将横坐标代入反比例函数求出纵坐标，即可比较大小关系.
【详解】当x=−3时,y1=−1，
当x=−1时,y2=−3，
当x=1时,y3=3，
∴y2<y1<y3
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数值的大小比较，将横坐标代入函数解析式求出纵坐标是解题的关键.
3、C
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2＋bx＋c＝0的解．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4、D
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数（m为常数），m2+1＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，2）在反比例函数（m为常数）的图象上，∵，
∴x2＜x1＜x3，
故选：D.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5、B
【分析】由，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】∵，

∴(x−6)(x−10)=0，
解得：x1=6,x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD是高，
∴BD=4,AD=，
∴S△ABC= BC⋅AD=×8×2=8；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°，
S△ABC=BC⋅AC=×8×6=24.
∴该三角形的面积是：24或8.
故选B.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
6、D
【分析】作EH⊥x轴于点H，EG⊥y轴于点G，根据“OB=2OA”分别设出OB和OA的长度，利用矩形的性质得出△EBG∽△BAO，再根据相似比得出BG和EG的长度，进而写出点E的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出答案.
【详解】
作EH⊥x轴于点H，EG⊥y轴于点G
设AO=a，则OB=2OA=2a
∵ABCD为正方形
∴∠ABC=90°，AB=BC
∵EG⊥y轴于点G
∴∠EGB=90°
∴∠EGB=∠BOA=90°
∠EBG+∠BEG=90°
∴∠BEG=∠ABO
∴△EBG∽△BAO
∴
∵E是BC的中点
∴
∴
∴BG=，EG=a
∴OG=BO-BG=
∴点E的坐标为
∵E在反比例函数上面
∴
解得：
∴AO=，BO=

故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何的综合，难度系数较高，解题关键是根据题意求出点E的坐标.
7、C
【分析】根据求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.
【详解】解：∵△=b2﹣4ac=0，
∴4﹣4m=0，
解得：m=1，
∴原方程可化为：x2+2x+1=0，
∴（x+1）2=0，
∴x1=x2=﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
8、C
【解析】试题解析：A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件, 说法错误.
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次,说法错误.
C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件,说法正确.
D. 明天太阳从东方升起是必然事件.说法错误.
故选C.
9、A
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程，即．
【详解】把x=0代入方程得到：a2－1＝0
解得：a=±1．
（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程
即．
综上所述a=1.
故选A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.
10、B
【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可.
【详解】方程化为一般形式为：，
．
故选：．
【点睛】
题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、﹣1.5或
【解析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，
解得：m=-=-1.5；
②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，
解得：m=＜2（舍）；
③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，
解得：m=或m=-＜-1（舍），
∴m的值为-1.5或，
故答案为：﹣1.5或．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
12、 (2.5，3)
【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标．
【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，
∴A的坐标为：(2.5，3)．
故答案为：(2.5，3)．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
13、x（x+4）（x–4）.
【解析】先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），
故答案为x（x+4）（x﹣4）．
14、
【分析】设出反比例函数解析式解析式，然后利用待定系数法列式求出k值，即可得解．
【详解】设反比例函数解析式为，
则，
解得：，
∴此函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式及特殊角的三角函数值，设出函数的表达式，然后把点的坐标代入求解即可，比较简单．
15、
【解析】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．∴．
∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC．
∵在RtACD中，∠D=30°，∴．
∴．
16、
【分析】先证明△AHE∽△CBA，得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tan∠GAF的值．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵∠AHE=∠ABC=90°，∠HAE=∠BCA，
∴△AHE∽△CBA，
∴，即，
设，则A，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形、矩形的性质、解直角三角形．利用参数求解是解答本题的关键．
17、
【分析】等式两边同时乘以，再移项即可求解．
【详解】
等式两边同时乘以得：
移项得：,
经检验，x=2是方程的解.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18、（-5，）
【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
【详解】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为-5，纵坐标为，
故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．
故答案为：（-5，）．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．

三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）AB＝6．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠DEC=∠A，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠C，求出∠DEC=∠C，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质求出AC长，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC＝∠A，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴ED＝DC；
（2）解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BD⊥AC，
∵AB＝BC，CD＝6，
∴AD＝DC＝6，
∴AC＝12，
∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C，
∴△DEC∽△BAC，
∴,
∴，
解得：BC＝6，
∵AB＝BC，
∴AB＝6．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20、（1）（2）.
【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；
（2）利用因式分解法解方程得出答案；
【详解】（1）

解得：
（2）

解得：
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握计算法则是解题关键.
21、（1）x1＝1，x2＝3；（2）1＜x＜3；（3）x＞2.
【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点坐标写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
（2）写出函数图象在x轴上方时所对应的自变量的范围即可；
（3）根据函数图象可得答案．
【详解】解：（1）由函数图象可得：方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）由函数图象可得：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为：1＜x＜3；
（3）由函数图象可得：当x＞2时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题、根据函数图象求不等式解集以及二次函数的性质，注意数形结合思想的应用.
22、（1）；（2）点P的坐标为（﹣，0）；（3）1
【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）先求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，再求出AD所在直线的解析式，进而即可求解；
（3）设直线AB与y轴交于E点，根据S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE，即可求解．
【详解】（1）将点A(﹣1，3)代入y＝得：3＝，解得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
（2）把B(b，1)代入y＝x+1得：b+1＝1，解得：b＝﹣3，
∴点B的坐标为(﹣3，1)，
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图，
∵点B的坐标为(﹣3，1)，
∴点D的坐标为(﹣3，﹣1)．
设直线AD的函数表达式为：y＝mx+n，
将点A(﹣1，3）、D(﹣3，﹣1)代入y＝mx+n，得，解得，
∴直线AD的函数表达式为：y＝2x+5，
当y＝0时，2x+5＝0，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为(﹣，0)；
（3）设直线AB与y轴交于E点，如图，
令x＝0，则y＝0+1＝1，则点E的坐标为(0，1)，
∴S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE＝×1×3﹣×1×1＝1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质与一次函数的综合，掌握“马饮水”模型和割补法求面积，是解题的关键．
23、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：

抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
24、（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为1．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，

∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝2．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+22，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质可以∠DCB的度数；
（2）用扇形AOD的面积减去三角形OAF的面积乘2，得阴影部分面积．
【详解】（1）证明：为的直径，为的弦，且，，
，
，
，交延长线于点，
，
，，
∴
（2），
，且，
，
，
，，
阴影部分的面积为：．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．
26、（1）；（2）9；（3）存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【分析】(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.
（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.
（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况QM⊥BC和QM⊥BO，再结合△QBM∽△CBO，根据相似比例便可求解.
【详解】解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线中，得：
解得：
所以抛物线的解析式为.

（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.
(3) 当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以 ,
又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x
所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.
过点M作NM⊥OB于N，则MN//OC, 所以 ,
即 ，所以,
所以点M的坐标为（）
当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以 , 即
设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t
又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得
MQ=3t=,, 所以点M的坐标为（）.
综上所述，存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【点睛】
本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.