必修四三角函数的图象与性质讲义.doc

(完整word)必修四三角函数的图象与性质讲义1。41。5三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象(列表、描点、连线）自变量函数值注意：（1）由于sin(2k）sin，因此作正弦函数图象时,我们经常采用“五点法：（0,0)，(，1），(，0)，(，1），(2，0)；再通过向左、右平移(每次2个单位),即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象：ycosxsin(x)可将正弦函数ysinx向左平移个单位得到。2、“五点作图法”：（0，1），（，0)，（,1)，(,0），(2,1）三、正、余弦函数的性质f(x）sinxh（x)cosxf（x）sinxh(x)cosx定义域RR值域1，1当x2k时,f(x）max1当x2k时,f(x)min11，1当x2k时，f(x）max1当x2k时，f（x)min1单调区间2k，2k单增2k,2k单减2k,2k单减2k,2k2单增对称轴xkxk对称中心(k，0)(k，0）周期性sin(2k）sincos（2k）cos最小正周期为2奇偶性sin（)sin奇函数cos（）cos例1:求下列函数的定义域。（1）f(x）（2）f（x）变式练习1：求下列函数的定义域(1）f（x)lg（sinx）（2）f(x)（3）f(x)变式练习2：已知cosx，且x0，2,则角x等于(）A：或B：或C:或D：或【解析】A变式练习3：当x时0，2，满足sin（x）的x的取值范围是(）A：0，B：,2C：0，,2D：，【解析】C例2:下列函数图象相同的是（）A：ysinx与ysin(x)B：ycosx与ysin(x)C：ysinx与ysin（x）D：ysin(2x）与ysinx【解析】B变式练习1:y1sinx，x0，2的图象与直线y2交点的个数是（)A：0B：1C:2D：3解析B变式练习2：函数ysin（x），x0，2的简图是(）【解析】B变式练习3：.函数y2sinx与函数yx图象的交点_个。【解析】在同一坐标系中作出函数y2sinx与yx的图象可见有3个交点.3个变式练习4：。若函数y2cosx（0x2)的图象和直线y2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为_。【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1S2，S3S4,因此函数y2cosx的图象与直线y2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。因为OA2，OC2，所以S矩形OABC224。故所求封闭图形的面积为4。四、正切函数的图象与性质【三点两线】定义域:xkkZ值域：R周期性：最小正周期T单调递增区间：（k，k)奇偶性：tan（x)tanx奇函数对称中心：（，0）例3:求函数f（x)tan（2x)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心.例4：若直线过点M（2,2)且与以点P(2，3)、Q（1，0）为端点的线段恒相交,则直线的斜率的范围是_。【解析】：k2变式练习：若直线过点M（0,2)且与以点P(2，3)、Q（1，0）为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是_。【解析】：k2，k五、函数ysin(x)的图象与性质（一）由ysinx的图象通过变换法作yAsin（x)的图象1、先平移后伸缩：ysinxysin（x）ysin(x）yAsin（x）2、先伸缩后平移：ysinxysinxysin(x)yAsin（x)例5：把函数ysin（2x）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为(）A：ysin(4x)B：ysin（4x）C：ysin4xD：ysin2x【解析】：D变式练习1：将函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(）A:ycos2xB：ysin（2x）C：ysin（x)D:ysin（x）【解析】：选D变式练习2：已知函数f(x)sin（x)（0）的最小正周期为，则函数f（x)的图象可以由函数ysin2x的图象(）A：向左平移个单位长度B：向右平移个单位长度C:向左平移个单位长度D:向右平移个单位长度【解析】选A变式练习3：要得到函数y2cos（2x)的图象,只要将函数y2cos2x的图象(）A：向左平行移动个单位长度B:向右平行移动个单位长度C：向左平行移动个单位长度D：向右平行移动个单位长度【解析】选D变式练习4：要得到函数ysin（2x）的图象,只需将函数ycos(2x)的图象(）A:向左平移个单位长度B:向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D:向右平移个单位长度【解析】选C.由于ycos(2x）cos2xsinsin2，ysinsin2sin2。故只需将函数ycos（2x）的图象向右平移个单位长度得到函数ysin的图象。五、有关函数yAsin（x)的性质1、定义域为R2、值域为A,A3、最小正周期T4、当k时，函数yAsin（x）为奇函数；当k函数是偶函数.5、对于函数yAsin(x）(A0，0)的单调区间,把x看成整体2kx2k，解出x的范围为函数的单调递增区间2kx2k,解出x的范围为函数的单调递减区间6、函数yAsin（x）的对称轴xk，解出x求得；对称中心xk，解出x求得.例6：指出函数y3sin(2x)的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。变式练习1：函数f（x）3sin(x)在下列区间内递减的是()A:,B：0，C：，D：,【解析】：令2kx2k，kZ可得2kx2k,kZ,函数f（x）的递减区间为,kZ.从而可判断，答案：D变式练习2：设函数f(x）sin(2x)，xR，则f(x）是()A：最小正周期为的奇函数B：最小正周期为的偶函数C：最小正周期为的奇函数D：最小正周期为的偶函数【解析】：因为f(x）sincos2x，所以f（x)cos2(-x）cos2xf（x)，所以f（x)是最小正周期为的偶函数.答案:B例7：若函数的图象关于直线对称，那么的最小值为（）A：B：C：D:【解析】：B例8：函数f(x）Asin（x)（A0，0,)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()A：f(x）2sin(x）B：f(x)2sin（2x)C:f(x）2sin(x)D：f(x）2sin（2x）【解析】：B变式练习1：已知cos，且(，),函数f(x）sin（x)(0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f(）的值为（)。A：B：C：D:【解析】：B变式练习2:已知函数f（x)sin(x)（0，）的部分图象如图，则_。【解析】:变式练习3:已知函数f(x）sin（x）(0）的图象如右图如示，则f(4）_。【解析】：变式练习4：函数f（x)sin(x)，（）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A：(14k，14k)，kZB:(38k,18k）,kZC：（14k，14k），kZD：(38k，18k),kZ【解析】：【解答】解：根据函数f（x）sin(x），（）的部分图象，可得312，求得，再根据五点法作图可得？1，f（x）sin（x）令2kx2k，求得8k3x8k1，故函数的增区间为38k,18k，kZ,故选：D例9：已知函数f（x)sin(2x)（1）求函数f(x）的最小正周期.（2）求函数f(x）的单调递增区间以及对称中心。（3）求函数f（x）在区间,上的最大值和最小值。变式练习1：已知函数f(x）sin（x)（其中0，|),若函数yf(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线x是函数yf(x）图象的一条对称轴。（1）求的值;(2)求yf（x）的单调递增区间；（3)若x,，求yf(x）的值域。【解析】：（1)因为函数yf（x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期T，所以2.(2)因为直线x是函数yf（x）图象的一条对称轴，所以2k,kZ，k，kZ。又|，所以。所以函数的解析式是ysin.令2x，kZ,解得x，kZ。所以函数的单调递增区间为，kZ.（3)因为x，所以2x.所以sin，即函数的值域为.变式练习2：设函数f(x）sin(2x）（0），已知它的一条对称轴是直线x。（1）求；(2)求函数f（x）的单调递减区间；(3）求函数的对称中心；(4）当x，函数f（x)的取值范围。【解析】（1）函数的一条对称轴是直线x，2k，kZ,因为-0，所以-.(2）由（1）知，f(x)sin，2k2x2k，kZ，即kxk，kZ，所以函数f（x)的单调递减区间为（kZ）。变式练习3:设函数f（x）tan（).(1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；（2）求不等式1f(x)的解集。【解】：(1)由+k（kZ),得x+2k，f(x）的定义域是。,周期T2。由+k+k（kZ),得-+2kx0,故选D。