必修2第三章直线与方程小结与复习教案.doc

《直线与方程》小结与复习
一、【教学目标】
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．
教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．
自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．
易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．
易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1． 学法：讲练结合，自主探究
2．教具：多媒体课件，三角板
二、【知识梳理】
直线的方程
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
范围
直线的斜率
定义
公式
直线方程的五种形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式

两条直线的位置关系
平行与垂直的判定
两直线相交
直线对称问题
点关于直线对称
直线关于直线对称
平行的判定方法
垂直的判定方法
直线关于点对称
三种距离计算
点与点的距离
点与线的距离
平行线的距离
求交点坐标

二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
（2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即
________，倾斜角是的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点，的直线的斜率公式为______________________．当时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角与斜率的关系
当为锐角时，越大越____；当为钝角时，越大越____．

2． 直线方程的五种基本形式

名称
几何条件
方程
局限性
点斜式
过点，斜率为

不含__________的直线
斜截式
斜率为，纵截距为

不含__________的直线
两点式
过两点和（）

不含__________的直线
截距式
横截距为，纵截距为

不含________和_______的直线
一般式

平面直角坐标系内的直线都适用
答案：1．（1） ① 正向，向上， ；② ； （2） ① 正切值，；
② ，不存在． （3）大，大．
2．，，，，．
垂直于轴；垂直于轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点．
3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，则有____________．特别地，当直线的斜率、都不存在时，与________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率、存在，设为、，则____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．两直线相交
交点：直线：和：的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；
平行方程组________；
重合方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点、间的距离：
．
（2）点到直线：的距离：
．
（3）两平行直线：与： （）间的距离为______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
1、两直线间的平行与垂直问题
例1 （1）已知两直线：，：，若，求实数的值；
（2）已知两直线：和：．若，求实数的值．
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，，．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
（2）①若直线和有斜截式方程：，：，则．
②设：，：．则：．
【解答】（1）方法一：①当时，：，：，；
②当时， ：， ：，
由且，
∴．
故所求实数的值为或．
方法二:直线：，：平行的等价条件是：
且或，由所给直线方程可得：
且且
或，故所求实数的值为或．
（2）方法一：由直线的方程知其斜率为，
当时，直线的斜率不存在，与不垂直；
当时，直线的斜率为，
由．
故所求实数的值为．
方法二:　直线：，：垂直的等价条件是．
由所给直线方程可得：，故所求实数的值为．
【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论．
变式训练:已知两直线：和：．试确定、的值，使
（1） 与相交于点；
（2） ；
（3） ，且在轴上的截距为．
答案：（1）由题意得：，解得．
（2）当时，显然不平行于；
当时，由得，
∴，或．
即时或时，．
（3）当且仅当，即时，，又，∴．
即，时，且在轴上的截距为．
2、点到直线距离问题

例2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是且它的对角线的交点是求这个平行四边形其他两边所在直线方程．
【分析】因为斜率相等,所以其他两条直线可以设为
然后利用点到直线的距离公式．
【解答】
设直线的方程为
由点到直线的距离相等，得：
解得
同理，由点到直线的距离相等，得：

因此，其他两边所在直线的方程是
．

【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简化运算．
变式训练：已知正方形的中心为点，一条边所在
的直线的方程是求正方形其他三边所在直线的方程．
【分析】本题先设与已知直线平行的直线为
另两条都与已知直线垂直，设为
然后利用点到直线的距离公式．
【解答】
由点到直线的距离相等，得：

由点到直线的距离相等

综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是．
3、三角形问题

例3. 已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为．求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
【分析】第一问主要是考查设、求直线，
熟练解答过程，先设直线为：
然后代入点；第二问考查用先设、求点，
然后与点求出直线，或者设直线的点斜式方程，
再结合中点坐标公式求出斜率．
【解答】(1)由题意，得直线的方程为．
解方程组 得点的坐标为（4，3）．
（2）解法一：设则．于是有
．与．
于是直线的方程为．
解法二：设直线的方程为，即．
解方程组得．
因为点是线段的中点，所以点的坐标是．
把点的坐标代入直线的方程，得．解得．
所以直线的方程为．
解法三：设，则．
因为点在直线上，所以有即．
解方程组得点的坐标为，点的坐标为．
所以直线的方程为．
【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点，就避免了考虑斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础．
变式训练：
在中，边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为，
若点的坐标为，求边上的垂直平分线．

【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点关于对称的点，也易求直线．
【解答】点在直线的高线上，又在角的平分线上
由 得
所以而直线是角的平分线，所以
所以边所在的直线方程为
又所以边所在直线方程为
由与的直线方程联立可得
所以边上的垂直平分线所在的直线方程为．
4、最值问题
例4．已知点，.在直线:
上找一点,使最小，并求出最小值．
【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点关于对称的点，连结，直线与直线的交点即为所求．事实上,若点是上异于的点，则．

【解答】设与关于对称的点是．

的方程为，即．
解方程组得
线段交直线于．
是的中点，的坐标为．
连结的直线方程为．
解方程组得
点坐标为．此时，．
【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使最大．

变式训练：
函数的最小值为_______________．

【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用，
把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题，
把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是
把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反，
体现了数形结合的重要的数学思想．
【解答】把变形为

表示动点
到两定点、的距离之和．
作点关于轴的称点
．
四、【解法小结】
1．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
2．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线、，，．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．
3．在运用两平行直线间的距离公式时，一定要注意将两方程中的，项系数化为分别相等的系数．
4．两直线平行时，直线可设为，两直线垂直时，直线可设为，可以简化运算．
五、【布置作业】
必做题：
1．已知直线：与：平行，则的值是 ．
2．若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点是 ．
3. 已知，则的最小值是 ．
4．设直线经过点，则当点与直线的距离最大时，直线的方程为 ．
答案：1 ．或；2．；3．； 4．
选做题：
1．已知直线．
（1）证明直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求使面积最小时直线的方程．
2.已知直线：，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线：关于直线的对称直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
答案：
1．（1）定点；（2）；（3）．
2. 【解答】（1）设，由已知，解得：，
∴
（2）在直线上取一点，如，则 关于直线的对称点必在直线上．设对称点
，则，得，
设直线与直线的交点为，则由得．
又∵经过点，，∴由两点式得直线的方程为．
（3）方法一　在：上任取两点，如，，则关于点
的对称点均在直线上，易得，，再由两点式可得的方程为．
方法二　∵，∴设的方程为，
∵点到两直线，的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：，解得，∴的方程为．
方法三　设为上任意一点，则关于点的对称点为，
∵点在直线上，∴，即．
【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点：
（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．
六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：
在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换．教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别．渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法．
2．本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．