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复变函数习题标准答案第3章习题详解.doc
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1、第三章习题详解1 沿下列路线计算积分。1) 自原点至的直线段;解:连接自原点至的直线段的参数方程为: 2) 自原点沿实轴至,再由铅直向上至;解:连接自原点沿实轴至的参数方程为: 连接自铅直向上至的参数方程为: 3) 自原点沿虚轴至,再由沿水平方向向右至。解:连接自原点沿虚轴至的参数方程为: 连接自沿水平方向向右至的参数方程为: 2 分别沿与算出积分的值。解: 而3 设在单连通域内处处解析,为内任何一条正向简单闭曲线。问,是否成立?如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。解:不成立。 例如:, 4 利用在单位圆上的性质,及柯西积分公式说明,其中为正向单位圆周。解: 5 计算积分的值,其中为正向
2、圆周:1) ;解:在上, 2)解:在上, 6 试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?是正向的圆周。1)解:在内解析,根据柯西古萨定理,2)解:在内解析,根据柯西古萨定理,3)解:在内解析,根据柯西古萨定理,4)解:在内解析,在内,5)解:在内解析,根据柯西古萨定理,6)解:在内解析,在内,7 沿指定曲线的正向计算下列各积分:1) ,:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:2) ,:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:3) ,:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:4) ,:解:不在内,在解析,根据柯西古萨定理:5) ,:解:在解析,根据柯西古萨定理:6) ,:为包围的闭曲线解:在
3、解析,根据柯西古萨定理:7) ,:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:8) ,:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:9) ,:解:在内,在解析,根据高阶导数公式:10) ,:解:在内,在解析,根据高阶导数公式:8 计算下列各题:1)解:2) ;解:3) ;解:4) ;解:5) ;解:6) (沿到的直线段)。解:9 计算下列积分:1) ,(其中:为正向);解:2) ,(其中:为正向);解:3) ,(其中:为正向,:为负向);解:在所给区域是解析的,根据复合闭路定理:4) ,:(其中为以,为顶点的正向菱形);解:在所给区域内,有一孤立奇点,由柯西积分公式:5) ,(其中为的任何复数,:为正向)。解
4、:当,在所给区域内解析,根据柯西古萨基本定理: 当,在所给区域内解析,根据高阶导数公式:10 证明:当为任何不通过原点的简单闭曲线时,。证明:当所围成的区域不含原点时,根据柯西古萨基本定理:; 当所围成的区域含原点时,根据高阶导数公式:;11 下列两个积分的值是否相等?积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到?为什么?1)2)解:1); 2) 由此可见,1)和2)的积分值相等。但2)的值不能利用闭路变形原理从1)得到。因为在复平面上处处不解析。12 设区域为右半平面,为内圆周上的任意一点,用在内的任意一条曲线连接原点与,证明。提示:可取从原点沿实轴到,再从沿圆周到的曲线作为。证明:因为在
5、内解析,故积分与路径无关,取从原点沿实轴到,再从沿圆周到的曲线作为,则: 13 设和为相交于、两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与内解析,在、上也解析,证明:。证明:如图所示,在与内解析,在、上也解析,由柯西古萨基本定理有: 14 设为不经过与的正向简单闭曲线,为不等于零的任何复数,试就与跟的不同位置,计算积分的值。解:分四种情况讨论:1) 如果与都在的外部,则在内解析,柯西古萨基本定理有2) 如果与都在的内部,由柯西积分公式有3) 如果在的内部,都在的外部,则在内解析,由柯西积分公式有4) 如果在的外部,都在的内部,则在内解析,由柯西积分公式有15 设与为两条互
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