高等量子力学-理论方法-3量子跃迁理论.ppt
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1、一、一、量子力学的建立量子力学的建立二、二、量子力学基本原理量子力学基本原理三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法四、四、量子力学的应用量子力学的应用 高高 等等 量量 子子 力力 学学三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法一、一、表象理论表象理论二、二、微扰理论微扰理论五、五、散射理论散射理论 六、六、多粒子体系理论多粒子体系理论 七、七、二次量子化二次量子化 八、八、相对论量子力学相对论量子力学 三、三、量子跃迁理论量子跃迁理论四、四、自旋与角动量理论自旋与角动量理论三、三、量子跃迁理论量子跃迁理论(一)与时间有关的微扰理论(一)与时间有关的微扰理论(二)(二)跃迁概率跃迁概率
2、(三)光的发射和吸收(三)光的发射和吸收(四)(四)选择定则选择定则 本本节讨论的的体体系系其其 Hamilton Hamilton 算算符符含含有有与与时间有有关关的微的微扰,即:,即:(一)(一)与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time 在在有有与与时时间间有有关关的的微微扰扰作作用用下下,哈哈密密顿顿算算符符与与时时间间有有关关,体体系系的的能能量量不不守守恒恒。因因而而不不存存在在定定态态,也也就就谈谈不不上上对对能能量量的的修修正正。故故只只能能研研究究有有微微扰扰时时的的波波函函数数,量量子子状状态态之之间间的的跃跃迁迁,
3、以以及及体体系系对对光光的的吸吸收收和和发发射射(能能量量变变化化)等等。H H0 0 的定态波函数可以写为:的定态波函数可以写为:n n=n n exp-exp-iin nt t/满足左边含时满足左边含时 S-S-方程:方程:定态波函数定态波函数 n n 构成正交完备系,构成正交完备系,整个体系的波函数整个体系的波函数 可按可按 n n 展开:展开:代代入入相相消消含时微扰理论含时微扰理论以以 m*左乘上式后左乘上式后 对全空间积分对全空间积分求解方法同定态微扰中使用的方法:求解方法同定态微扰中使用的方法:(1)引)引进一个参量一个参量,用,用 H 代替代替 H(在最后在最后结果中再令果中再
4、令 =1););(2)将)将 an(t)展开成下列展开成下列幂级数;数;(3)代入上式并按)代入上式并按 幂次分次分类;(4)(4)解这组方程,我们可得到关于解这组方程,我们可得到关于a an n 的各级近似解,近而得到波函数的各级近似解,近而得到波函数 的近似解。实际上,大多数情况下,的近似解。实际上,大多数情况下,只求一级近似就足够了。只求一级近似就足够了。(最后令(最后令 =1=1,即用,即用 HHmnmn代替代替 HHmnmn,用,用a a m m(1)(1)代替代替 a a m m(1)(1)。)。)零级近似波函数零级近似波函数 a am m(0)(0)不随时不随时 间变化,它由未微
5、扰时体系间变化,它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。所处的初始状态所决定。假假定定t t 0 0 时时,体体系系处处于于 H H0 0 的的第第 k k 个个本本征征态态 k k。而且由于而且由于 exp-iexp-i n n t/t/|t=0t=0=1=1,于是有:于是有:因因 a an n(0)(0)不随时间变化,所以不随时间变化,所以a an n(0)(0)(t)=a(t)=an n(0)(0)(0)=(0)=nknk。t t 0 0 后加入微扰,则第一级近似:后加入微扰,则第一级近似:体系的某一状态体系的某一状态t t 时刻发现体系处于时刻发现体系处于 m m 态态的概率等于的概率
6、等于|a|a m m(t)|(t)|2 2体系在微扰作用下由初态体系在微扰作用下由初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态 m m 的概率的概率在一级近似下为:在一级近似下为:1.跃迁概率跃迁概率 2.一阶常微扰一阶常微扰 3.简谐微扰简谐微扰 4.实例实例(二)(二)跃迁概率跃迁概率体系的某一状态体系的某一状态t t 时刻发现体系处于时刻发现体系处于 m m 态态的概率等于的概率等于|a|a m m(t)|(t)|2 2体系在微扰作用下由初态体系在微扰作用下由初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态 m m 的概率的概率在一级近似下为:在一级近似下为:1.一级近似下一级近似下跃迁概率跃迁概率(1 1)含
7、时)含时 Hamilton Hamilton 量量设设 H H 在在 0 0 t t t t1 1 这段时间之内不为零,但与时间无关,这段时间之内不为零,但与时间无关,即:即:(2 2)一级微扰近似)一级微扰近似 a am m(1)(1)HHmkmk 与与 t t 无关无关 (0(0 t t t t1 1)2.一阶常微扰一阶常微扰(3 3)跃迁概率和跃迁速率)跃迁概率和跃迁速率极限公式:极限公式:则当则当t t 时,时,有如下极限值:有如下极限值:于是:于是:跃迁速率:跃迁速率:(4 4)讨论)讨论 1.1.对对于于常常微微扰扰,在在作作用用时时间间相相当当长长的的情情况况下下,跃跃迁迁速速率
8、率将将与与时时间间无无关关,且且仅仅在在能能量量m m k k,即即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁概率。在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁概率。在在常常微微扰扰下下,体体系系将将跃跃迁迁到到与与初初态态能能量量相相同同的的末末态态,也就是说末态是与初态不同的状态,但能量是相同的。也就是说末态是与初态不同的状态,但能量是相同的。2.2.式中的式中的(m m-k k)反映了跃迁过程的能量守恒。反映了跃迁过程的能量守恒。3.3.黄金规则黄金规则设设体体系系在在m m附附近近ddm m范范围围内内的的能能态态数数目目是是(m m)ddm m,则跃迁到则跃迁到m m附近一系列可能末态的跃迁速率为
9、:附近一系列可能末态的跃迁速率为:(1 1)Hamilton Hamilton 量量t=0 t=0 时加入一个简谐时加入一个简谐 振动的微小扰动:振动的微小扰动:为便于讨论,将上为便于讨论,将上式改写成如下形式式改写成如下形式F F 是与是与 t t无关无关 只与只与 r r 有关的算符有关的算符(2 2)求)求 a am m(1)(1)(t)(t)H(t)H(t)在在 H H0 0 的第的第 k k 个和第个和第 m m 个本征个本征态态 k k 和和 m m 之间的微扰矩阵元是:之间的微扰矩阵元是:3.简谐微扰简谐微扰(2 2)几点分析)几点分析(I)(I)当当=mkmk 时,微扰频率时,
10、微扰频率 与与 Bohr Bohr 频率相等时,上式第二项频率相等时,上式第二项 分子分母皆为零。求其极限得:分子分母皆为零。求其极限得:第二项起第二项起 主要作用主要作用(II)(II)当当=mkmk 时,同理有:时,同理有:第一项起第一项起 主要作用主要作用(III)(III)当当 mkmk 时,两项都不随时间增大时,两项都不随时间增大总之,仅当总之,仅当 =mkmk=(m m k k)/)/或或m m=k k 时,出现明显跃迁。这就是说,仅当外时,出现明显跃迁。这就是说,仅当外界微扰含有频率界微扰含有频率mkmk时,体系才能从时,体系才能从k k态跃迁到态跃迁到m m态,态,这时体系吸收
11、或发射的能量是这时体系吸收或发射的能量是 mkmk 。这说明我们讨论这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。的跃迁是一种共振现象。因此我们只需讨论因此我们只需讨论 mkmk 的情况即可。的情况即可。(3 3)跃迁概率)跃迁概率当当 =m m k k 时时,略去第一项,则略去第一项,则此此式式与与常常微微扰扰情情况况的的表表达达式式类类似似,只只需需作作代代换换:H Hmkmk F Fmk mk,mkmk mkmk-,常常微微扰扰的的结结果果就就可可直直接接引引用用,于于是是得得简简谐谐微微扰情况下的跃迁概率为:扰情况下的跃迁概率为:同理,同理,对于对于 =-=-m k m k 有:有:二式合二式合
12、记之:记之:(4 4)跃迁速率)跃迁速率或:或:(5 5)讨论)讨论1.(1.(m m-k k )描写了能量守恒:描写了能量守恒:m m-k k =0=0。2.2.k k m m 时,跃迁速率可写为:时,跃迁速率可写为:也就是说,仅当也就是说,仅当 m m=k k-时跃迁概率才不为零,此时时跃迁概率才不为零,此时发射能量为发射能量为 的光子。的光子。3.3.当当k k 0 t 0 时,附加一与振子振动方向相同时,附加一与振子振动方向相同的恒定外电场的恒定外电场 ,求谐振子处在任意态的概率。,求谐振子处在任意态的概率。解:解:t=0 时,振子振子处 于基于基态,即即 k=0。式中式中 m,1 m
13、,1 符号表明,只有符号表明,只有 当当 m=1 m=1 时,时,a am m(1)(1)(t)0(t)0,4.实例实例所以所以结论:外加电场后,谐振子从基态结论:外加电场后,谐振子从基态0 0跃迁到跃迁到1 1态的概态的概率是率是 W W0101,而从基态跃迁到其他态的概率为零。而从基态跃迁到其他态的概率为零。例例2.2.量子体系其本征能量为:量子体系其本征能量为:E E0 0,E,E1 1,.,E,.,En n,.,.,相应本征态分别是:相应本征态分别是:|0,|1,.,|n,.|0,|1,.,|n,.,在在t 0 t 0 时处于基态。在时处于基态。在 t=0 t=0 时刻加上微扰:时刻加
14、上微扰:试证:长时间后,该体系处于另一能量本征态试证:长时间后,该体系处于另一能量本征态|1|1的概率为:的概率为:证:因为因为 m=1,k=0m=1,k=0,所以:所以:代入上代入上式得:式得:当当 t (t )t (t )时:时:1.1.引言引言 2.2.光的吸收与受激发射光的吸收与受激发射 3.自发辐射自发辐射 4.激光器激光器(三)(三)光的发射和吸收光的发射和吸收光的吸收和受激发射:光的吸收和受激发射:在光的照射下,原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能在光的照射下,原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能级,反之亦反,我们分别称之为级,反之亦反,我们分别称之为光的吸收和受激光的吸收和
15、受激发射射。自发辐射:自发辐射:若原子处于较高能级(激发态),即使没有外界光照射,也能若原子处于较高能级(激发态),即使没有外界光照射,也能跃迁到较低能级而发射光子的现象称为跃迁到较低能级而发射光子的现象称为自自发辐射射。对于原子和光的相互作用(吸收和发射)所产生的现象,彻底对于原子和光的相互作用(吸收和发射)所产生的现象,彻底地用量子理论解释,属于量子电动力学的范围,这里不作讨论。地用量子理论解释,属于量子电动力学的范围,这里不作讨论。本节采用较简单地形式研究这个问题。本节采用较简单地形式研究这个问题。光吸收发射的半径典处理:光吸收发射的半径典处理:(1 1)对于原子体系用量子力学处理;)对
16、于原子体系用量子力学处理;(2 2)对于光用经典理论处理,即把光看成是电磁波。)对于光用经典理论处理,即把光看成是电磁波。这样简单化讨论只能解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。这样简单化讨论只能解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。1.1.引言引言受激辐射、自发辐射、受激吸收概念受激辐射、自发辐射、受激吸收概念爱因斯坦从光量子概念出发提出,黑体辐射,实际上是爱因斯坦从光量子概念出发提出,黑体辐射,实际上是辐射场和构成黑体的物质原子相互作用的结果,这种相辐射场和构成黑体的物质原子相互作用的结果,这种相互作用应包含原子的自发辐射、受激辐射、受激吸收互作用应包含原子的自发辐射、受激辐射、受激吸收.
17、处于高能级处于高能级E E2 2的原子自发地向的原子自发地向E E1 1跃迁,并发射一个能量为跃迁,并发射一个能量为的光子的过程称为自发跃迁;的光子的过程称为自发跃迁;由由原子自发跃迁发出的光波称为原子自发跃迁发出的光波称为自自发辐射。发辐射。自发辐射自发辐射自发辐射跃迁自发辐射跃迁Photon自发跃迁过程用自发跃迁过程用自发跃迁几率自发跃迁几率A A2121描述。描述。A A2121定义定义为为单位时间内单位时间内n n2 2 个高能态原子中发生自发跃迁个高能态原子中发生自发跃迁的原子数与的原子数与n n2 2的比值:的比值:表示由于自发跃迁引起的表示由于自发跃迁引起的由由E E2 2向向E
18、 E1 1跃迁的原子数跃迁的原子数自发跃迁是一种只与原子本身性质有关而与辐射自发跃迁是一种只与原子本身性质有关而与辐射场无关的自发过程。因此场无关的自发过程。因此A A2121只决定于原子本身的只决定于原子本身的性质性质 受激吸收受激吸收如如果果物物质质原原子子和和辐辐射射场场相相互互作作用用只只包包含含上上述述自自发发跃跃迁迁过过程程,是是不不能能维维持持腔腔内内辐辐射射场场的的稳稳定定值值的的。因因此此,爱爱因因斯斯坦坦认认为为,必必然然还还存存在在一一种种原原子子在在辐辐射射场场作作用用下下的的受受激激跃跃迁迁过过程程受激吸收跃迁示意图受激吸收跃迁示意图受激吸收:处于低能态受激吸收:处于
19、低能态E E1 1的一个原子,在频率为的一个原子,在频率为的辐射场的辐射场的激励下向高能态的激励下向高能态E E2 2 跃迁并吸收一个能量为跃迁并吸收一个能量为 的光子的过的光子的过程。程。受激吸收跃迁几率受激吸收跃迁几率:受激吸收与辐射场受激吸收与辐射场 的关系的关系:受激吸收爱受激吸收爱受激吸收爱受激吸收爱因斯坦系数因斯坦系数因斯坦系数因斯坦系数Photon普通光源的发光机理普通光源的发光机理:受激吸收和自发辐射受激吸收和自发辐射普通光源的发光(如电灯、火焰、太阳等)是由于物普通光源的发光(如电灯、火焰、太阳等)是由于物质在受到外来能量(如光能、电能、热能等)作用时,质在受到外来能量(如光
20、能、电能、热能等)作用时,原子中的电子就会吸收外来能量而从低能级跃迁到高原子中的电子就会吸收外来能量而从低能级跃迁到高能级,即原子被激发。激发的过程是一个能级,即原子被激发。激发的过程是一个“受激吸收受激吸收”过程。过程。处在高能级(处在高能级(E E2 2)的电子寿命很短(一般为的电子寿命很短(一般为10108 810109 9秒),秒),在没有外界作用下会自发地向低能级(在没有外界作用下会自发地向低能级(E E1 1)跃)跃迁,跃迁时将产生光(电磁波)辐射。辐射光子能量迁,跃迁时将产生光(电磁波)辐射。辐射光子能量为为 ,这种辐射是一种这种辐射是一种自发辐射自发辐射过程。过程。受激辐射跃迁
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