高三质检数学理科考试习题.doc

2012年惠安县普通高中毕业班质量检查
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高. 其中为球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（ 　）
A．， 　　B．，
C．， 　　　D．，
2．集合，，则与关系正确的是（ ）
A． B． 　 C． D．
3．某种菜籽在相同的条件下发芽试验，结果如下表：
种子粒数
130
310
700
1500
2000
3000
5000
发芽粒数
116
286
639
1339
1810
2097
4515
发芽频率
0.892
0.922
0.913
0.893
0.905
0.899
0.903
　　根据上表，可以推断种子发芽的概率最有可能为（　 　）
　A．0.80 　　　B．0.85 　　　　 C．0.90 　　　　 D．0.92
4．设，则中最大的数是（　 　）
A． B． 　 C． 　　　 D．和

5．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件
6. 已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确命题的个数是（　　　）
A．0 　B．1 　　　 C．2 　　　　 　D．3
7．函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（ ）
A． B．　　　C． 　D．
8．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序．从输出的点中任取一点，则该点落在不等式组所表示的平面区域内的概率为（ ）
A． B． C． 　D．
9．已知定义在上的奇函数的图像连续不断，导函数为，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． 　　　 B． 　　 C． 　　 D．

10.在平面直角坐标系中，抛物线的准线与轴的交点为．过抛物线上一点 作准线的垂线，垂足为，若、、依次成等比数列，则的值为（ 　）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
主视图

侧视图
俯视图
11．若复数，是虚数单位，则　　　　．
12．设等差数列的前项和为，若，
则 ．
13．已知，，则
　　　　　　．
14．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体体积的最大值为　　　　　.
15．对于函数，如果存在锐角，使得将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，所得曲线仍是一个函数的图象，则称函数具有旋转性．给出如下函数：
①；　②；　③；　④．
其中，对任意，均具有旋转性的函数的序号为　　　　．（写出所有满足条件的函数的序号）　

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
某机床厂每月生产某种精密数控机床10件，已知生产一件合格品能盈利8万元，生产一件次品将会亏损2万元．为了估计该机床厂的盈利能力，相关部门对近24个月中，每月生产的合格品的数量（单位：件）进行统计，结果如下：
月产合格品数量（件）
7
8
9
10
频数
8
10
4
2
频率

假设生产该精密数控机床任何两件之间合格与否相互没有影响，将频率视为概率．
（Ⅰ）试估计机床厂今年第三季度中，恰有两个月生产的合格品不少于8件的概率；
（Ⅱ）求机床厂每月盈利额的数学期望．

17．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴为始边作任意角，它们的终边与单位圆的交点分别为．
　　（Ⅰ）设，，求；
（Ⅱ）试证明差角的余弦公式．
x
y
A
B
O
终边
终边
x
y
A
B
O
终边
终边
（1）
（2）

18．（本小题满分13分）
如图1，在等腰梯形中，，，，为上一点，且，．将梯形沿折成二面角，设其大小为．
（Ⅰ）在上述折叠过程中，若，请你动手实验并直接写出直线与平面所成角的取值范围（不必证明）；
（Ⅱ）当时，连结，，，得到如图2所示的几何体，
（i）求证：平面平面；
A
B
C
E
D
图2
A
B
C
D
E
图1
（ii）在平面上是否存在点，使得线段的中点在平面上，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明；
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

20．（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）讨论函数的零点个数；
（Ⅲ）设数列，均为正项数列，且满足，
求证：．

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知经过矩阵的变换后变成，且，，， ，．
（Ⅰ）求矩阵，并说明它的变换类型；
（Ⅱ）试求出点的坐标及的逆矩阵．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线与直线交于点，若点的坐标为，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.

2012年惠安县普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所标注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分．
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A 9．B 10．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分20分．
11．1 　12．27 13． 14． 15．②③④
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．本小题主要考查概率与统计、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想．满分13分．
解：（Ⅰ）机床厂每月生产的合格品不少于8件的概率为，　　……………2分
所以，今年第三季度中，恰有两个月生产的合格品不少于8件的概率
．　　　　　　　　　　　 ……………………………6分
（Ⅱ）设表示机床厂每月生产合格品的数量，
则，　　……………………………8分
因为，　 ……………………………10分
所以，， ……………………………12分
答：该工厂每月盈利额的数学期望为60万元．　……………………………13分
17．本小题主要考查三角函数的定义、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）方法一：由已知，得的夹角为，，　……………2分
．　　　　　　……………………………6分
方法二：由三角函数的定义，得
点，，　　……………………………2分
．……6分
（Ⅱ）设的夹角为，
因为，所以，　………………8分
另一方面，由三角函数的定义，得，，
，　　　　　　　　　　　…………………10分
故，
由于，，　　　　…………………12分
所以，．　　　　　　　…………………13分
18．本小题主要考查空间线面关系、空间角等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力以及推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）直线与平面所成角的取值范围为．　　……………………3分
（Ⅱ）（i）在图1中，过点作，交于，由平几知识易得，
在图2中，，又，，
两两互相垂直，　　　　　　　　　……………………5分
又，平面，平面，
又平面，平面平面．……………………8分

A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
图1
F
图2

（ii）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，
…………………………………………9分
假设在平面上存在点，使得线段的中点在平面上，则点的坐标为，且存在实数，使得，
…………………………………………10分
又，……………………11分
　即　点，……………………12分
故存在满足条件的点，其轨迹是平行于直线，且与直线的距离及与点的距离均为1的直线．　　　　　　……………………13分
19．本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，
椭圆的方程为．　　　　　　………………………………5分
（Ⅱ）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是．　　　　　　　　　　………………………………6分
证明如下：
　　　　设点，，，　………………………………7分
直线、的斜率分别为，
　　　　则，　　………………………………8分
　　　　点，在椭圆上，
，且，
　　　　， 即，…………………………9分
　　　　所以，（定值）．　　　　　　　　…………………………10分
（Ⅲ）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是.……………………13分
20．本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想以及有限与无限思想．满分14分．
解：（Ⅰ）当时，（），
　　　　当时，，当时，，
　　　　在上递增，在上递减，
　　　　当时，取得极大值，无极小值．………………………………4分
（Ⅱ）方法一，由，得（*），
　　　令，则，　　　　　……………………………5分
　　　当时，，当时，，
　　　在上递增，在上递减，
　　　，　　　　　　　　　　　……………………………6分
又当时，；当时，，……………8分
当或时，方程（*）有唯一解，当时，方程（*）有两个不同解，当时，方程（*）无解，
所以，当或时，有1个零点；
当时，有2个零点；
当时，无零点．　　　　　　　　…………………………10分
x
y
O
方法二，由，得，
的零点个数为和的图象交点的个数．　　　　　　　……………5分
由和的图象可知：
当时，有且仅有一个零点；　　　　
……………………………6分
当时，若直线与相切，设切点为，因为，
，得，，
故当时，有且仅有一个零点；　　　…………………………8分
当时，有两个零点；当时，无零点，
综上所述，当或时，有1个零点；
当时，有2个零点；
当时，无零点．　　　　…………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，．
　　　，，从而有，
即（），　　　…………………………12分
　　　，
　　　，即，
　　　，即，
．　　　　　　…………………………14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想等．满分7分.
解：（Ⅰ）设M＝，依题意得 ＝，且 ＝，
∴解得，
∴M＝，它是沿x轴方向的切变变换．　　………………………………4分
（Ⅱ）∵ ＝，故点C′的坐标是（－1，－1），
又，．　　　　　………………………………7分
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分7分．
解：（Ⅰ）由，得，，
曲线的直角坐标方程为．　　　　………………………………3分
（Ⅱ）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，得，
即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以，
又直线过点，故由上式及的几何意义，得．
………………………………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查绝对不等式、一元二次不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想等．满分7分．
解：（Ⅰ）不等式的解集为，
所以，不等式的解集为，
．　　　　　　　　　　　　………………………………3分
（Ⅱ）函数的定义域为，显然有，由柯西不等式可得：
　　，
当且仅当时等号成立，即时，函数取得最大值.
………………………………7分

10 / 10