数学物理方程-第四章积分变换法.doc
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1、第四章 积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法。 不仅如此,在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用。 本章介绍Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用。 主要以一维热传导方程,一维波动方程及平面上的Laplace方程为主. 对于高维情形,由于计算过程要复杂一些,故只做简单介绍,也不做过多要求. 41 热传导方程Cauchy问题4.1。1 一维热传导方程Cauchy问题考虑如下问题下面利用Fourier变换求解该定解问题。 设为常数,函数的Fourier变换为 (1.3)为书写方便起见,引入记号, 如果为二元函数,表示对中的空间变量作Fourier变换的像函数,此时作
2、为参数对待.对(1。1)(1。2)关于空间变量作Fourier变换得上面是一阶线性常微分方程的初值问题,解之可得 (1.4)利用(1。3)得 记 (1.5)其中为单位阶跃函数. 则有 利用上面结果将(1.4)改写为 (1。6)对(1.6)两边取Fourier逆变换,并利用Fourier变换卷积公式便得 (1。7)(1。7)即为定解问题(1。1)(1.2)的解.在的表达式(1.7)中,函数起着一个基本作用。 如果令,则有因此,是如下问题的解而和分别是下面两问题的解 由于知道了就可直接写出(1.1)-(1。2)的解(1。7)式。 类似于求解线性方程组,其中为矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组
3、,则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此,的作用就相当于向量空间中的基,故称为定解问题(1.1)(1。2)的基本解(fundamental solution)。基本解是线性微分方程的一个很重要的概念,不仅可以表示Cauchy问题的解,也可用来构造Green函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释。 若在初始时刻时在处置放一单位点热源,则此单位点热源在轴上产生的温度分布便是. 类似地,若在初始时刻时在处置放一单位点热源,则此点热源在轴上产生的温度分布为. 而将初始时刻变为时,其温度分布就是。注1 在(1。1)(1。2)解的表达式(1.7)中,如果将其中的第一项和第二项分别记为和,则是
4、相应于时齐次方程的解,而是相应于时非齐次方程的解。 若记,则由齐次化原理可知。另外,和表达式中的卷积形式类似,也可表示成某种卷积形式,请同学们试给出这一表示形式。例1.1 求解如下定解问题其中均为常数。解 对(1。14)(1。15)关于作Fourier变换得 解之可得 (1。16)为了求函数的Fourier逆变换,利用配方法将其改写为由于利用Fourier变换的位移性质得 取得 故有 其中 记 其中为单位阶跃函数. 即为定解问题(1.14)(1.15)的基本解.将(1。16)改写为.,求Fourier逆变换得 如果将(1.15)中的齐次方程改为非齐次方程 ,考虑如下定解问题请同学们写出该定解问
5、题的解. 例1。2 求解如下定解问题其中 解 由(1.7)可得该问题的解为对积分作变量代换 得引入下面函数 (1。17)该函数称为误差函数。 利用误差函数可得。4。1。2 二维热传导方程Cauchy问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy问题 为求解(1.19)(1。20),先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解引入二元函数的Fourier变换和一元函数Fourier变换的性质相对应,二元函数的Fourier变换也有类似性质。对(1。20)-(1.21)关于空间变量作Fourier变换得其中. 解之可得。故有即(1.18)-(1.19)的基本解为
6、与(1.7)相对应,(1.20)(1。21)的解为 作为练习,同学们试用Fourier变换求解三维热传导方程Cauchy问题。 42 波动方程Cauchy问题421 一维波动方程Cauchy问题考虑如下定解问题若记(2.3)(2。4)的解为,则由叠加原理和齐次化原理可得(2。1)(2.2)的解为 (2。5)因此,只须求解定解问题(2。3)(2.4). 对(2.3)(2.4)关于空间变量作Fourier变换得解之可得记查Fourier变换表或直接计算可得故有对上式取Fourier逆变换并利用卷积公式得 .利用(2。5)便得(2.1)(2.2)的解为 (2.6)当时,(2。6)称为一维波方程Cau
7、chy问题的达朗贝尔(DAlembert)公式。注1 在(2.4)中取,则有,即是如下定解问题的解,称其为一维波动方程的基本解。 利用基本解,就可写出(2。1)(2.2)的解(2。6)式。 在(2.6)的表达式中也起到一个“基的作用。 4.2。2 二维和三维波动方程Cauchy问题下面,首先利用Fourier变换求解三维波动方程Cauchy问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy问题的解.考虑三维波动方程Cauchy问题为求解定解问题(2。7)(2。9),先求出三维波动方程的基本解,即如下问题的解,记。 对定解问题(2.10)-(2.12)关于空间变量作Fourier变换得解之可得故有为
8、计算上面积分,首先对上面积分作变量代换,其中为三阶正交矩阵。 选使得将变为,。 根据正交变换的保内积性可得,该变换将分别变为。故有,再利用球坐标变换 可得。注意到,记即为三维波动方程的基本解.因此,当时,(2。7)(2.9)的解为其中.对任一, 记以点为心为半径的球面为,即. 将上面的积分化为累次积分并由函数的定义可得最后,由叠加原理和齐次化原理便得(2。7)(2。9)的解为 (2.14)其中.(2。14)称为三维波动方程Cauchy问题的克希霍夫(Kirchhoff)公式.利用Fourier变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果(2.13),下面用降维法求二维波动方程C
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