数学物理方程-第四章积分变换法.doc

第四章 积分变换法
积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法。 不仅如此,在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用。 本章介绍Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用。 主要以一维热传导方程,一维波动方程及平面上的Laplace方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.
§41 热传导方程Cauchy问题
4.1。1 一维热传导方程Cauchy问题
考虑如下问题

下面利用Fourier变换求解该定解问题。
设为常数,函数的Fourier变换为
（1.3）
为书写方便起见，引入记号, 如果为二元函数,
表示对中的空间变量作Fourier变换的像函数，此时作为参数对待.
对（1。1）—（1。2）关于空间变量作Fourier变换得

上面是一阶线性常微分方程的初值问题,解之可得
（1.4）
利用（1。3）得

记
（1.5）
其中为单位阶跃函数. 则有

利用上面结果将（1.4）改写为
(1。6）
对（1.6）两边取Fourier逆变换，并利用Fourier变换卷积公式

便得

（1。7)
（1。7)即为定解问题（1。1）—（1.2）的解.
在的表达式（1.7）中，函数起着一个基本作用。 如果令，，则有因此，是如下问题的解
而和分别是下面两问题的解

由于知道了就可直接写出（1.1）-（1。2）的解(1。7）式。 类似于求解线性方程组，其中为矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，的作用就相当于向量空间中的基，故称为定解问题（1.1)—（1。2）的基本解(fundamental solution）。基本解是线性微分方程的一个很重要的概念,不仅可以表示Cauchy问题的解，也可用来构造Green函数表示边值问题的解.
基本解有明确的物理解释。 若在初始时刻时在处置放一单位点热源，则此单位点热源在轴上产生的温度分布便是. 类似地，若在初始时刻时在处置放一单位点热源，则此点热源在轴上产生的温度分布为. 而将初始时刻变为时，其温度分布就是。
注1 在（1。1)—(1。2）解的表达式（1.7）中,如果将其中的第一项和第二项分别记为和,则是相应于时齐次方程的解，而是相应于时非齐次方程的解。
若记,则由齐次化原理可知
。
另外,和表达式中的卷积形式类似，也可表示成某种卷积形式,请同学们试给出这一表示形式。
例1.1 求解如下定解问题

其中均为常数。
解 对（1。14）(1。15）关于作Fourier变换得

解之可得
（1。16)
为了求函数的Fourier逆变换,利用配方法将其改写为

由于

利用Fourier变换的位移性质得

取得

故有

其中

记

其中为单位阶跃函数. 即为定解问题(1.14)—（1.15）的基本解.
将（1。16）改写为
.，
求Fourier逆变换得

如果将(1.15）中的齐次方程改为非齐次方程 ，考虑如下定解问题

请同学们写出该定解问题的解.
例1。2 求解如下定解问题

其中

解 由（1.7）可得该问题的解为

对积分作变量代换 得

引入下面函数
（1。17）
该函数称为误差函数。 利用误差函数可得
。
4。1。2 二维热传导方程Cauchy问题
为加深对线性微分方程基本解的进一步理解，下面再求解二维热传导方程Cauchy问题

为求解（1.19)—(1。20），先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解
引入二元函数的Fourier变换

和一元函数Fourier变换的性质相对应，二元函数的Fourier变换也有类似性质。
对（1。20）-(1.21）关于空间变量作Fourier变换得

其中. 解之可得
。
故有

即（1.18)-(1.19）的基本解为

与（1.7）相对应，（1.20）—（1。21）的解为

作为练习,同学们试用Fourier变换求解三维热传导方程Cauchy问题。
§42 波动方程Cauchy问题
4．2．1 一维波动方程Cauchy问题
考虑如下定解问题

若记（2.3）—（2。4）的解为,则由叠加原理和齐次化原理可得（2。1）—（2.2)的解为
(2。5)
因此，只须求解定解问题（2。3）—（2.4）.
对(2.3）—（2.4）关于空间变量作Fourier变换得

解之可得

记

查Fourier变换表或直接计算可得

故有

对上式取Fourier逆变换并利用卷积公式得

.
利用（2。5）便得（2.1）—（2.2)的解为

（2.6)
当时，(2。6）称为一维波方程Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert）公式。
注1 在（2.4）中取，则有,即是如下定解问题

的解，称其为一维波动方程的基本解。 利用基本解，就可写出（2。1）—（2.2)的解（2。6）式。 在(2.6)的表达式中也起到一个“基"的作用。
4.2。2 二维和三维波动方程Cauchy问题
下面，首先利用Fourier变换求解三维波动方程Cauchy问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy问题的解.
考虑三维波动方程Cauchy问题
为求解定解问题（2。7）—（2。9)，先求出三维波动方程的基本解,即如下问题的解,
记。 对定解问题（2.10）-（2.12)关于空间变量
作Fourier变换得

解之可得

故有

为计算上面积分，首先对上面积分作变量代换,其中
为三阶正交矩阵。 选使得将变为,。 根据正交变换的保内积性可得,该变换将分别变为。故有
,
再利用球坐标变换

可得

。
注意到
，

记

即为三维波动方程的基本解.因此，当时,（2。7）—（2.9）的解为

其中.对任一， 记以点为心为半径的球面为，即. 将上面的积分化为累次积分并由函数的定义可得
最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2。7)—（2。9)的解为

(2.14)
其中.（2。14)称为三维波动方程Cauchy问题的克希霍夫（Kirchhoff)公式.
利用Fourier变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13),下面用降维法求二维波动方程Cauchy问题.
考虑如下三维波动方程Cauchy问题
对于定解问题（2。15）—（2.16），由于初始数据与无关,可推知解与也无关，故有＝0,即定解问题(2.15）－（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy问题， 由（2。13）可得该问题的解为

其中.
对于上半球面直接计算得

将上式代入到(2。17)中便得
其中,。

和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy问题

的解为

（2。22）
(2。22)称为二维波动方程Cauchy问题的波以松（Poisson）公式。

4。2。3 解的物理意义
对一维波动方程Cauchy问题，如果无外力作用，则解由D'Alembert公式给出，即

将上式改写为

其中

记,，则。
首先考虑当时在平面上画出函数的图形，则的图形可通过的图形向左平移个单位长度而得。 随着的增加，的图形不断向左平移，移动速度为，故称为左传播波，为波速. 同样道理，称为右传播波。 D’Alembert公式表明：弦线在时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.
其次,从D'Alembert公式还可看出:在的值只与轴上区间上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为，在区间外的初始扰动在时刻还未传播到点，故称区间为点的依赖区间. 在平面上，过点分别作斜率为的直线，两条直线在轴上所截得的区间便是（图2。1）.
给定轴上的区间，过点作直线，过点作直线，它们和轴构成了一个三角形区域（图2。1）。由于该区域内任一点的依赖区间都落在区间内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间的决定区域. 同理，过点作直线，过点作直线，它们和轴构成一个梯形区域（图2.1），该区域称为区间的影响区域，它表示区间上初始扰动对弦线振动的作用范围。

(x, t)

决定区域 影响区域

0 0 0
（) （b） (c)
图2.1

由上面分析可得，波以常速沿两族直线向左﹑右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征。 直线 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.
当时,对公式（2.14)和（2。22）进行分析,便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程,一点的依赖区域是以为心，为半径的圆域;而对三维波动方程,一点的依赖区域是以为心,为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中,平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音,一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens原理。

§43 积分变换法举例
在前二节中，利用Fourier变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy问题的解。 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定解问题中的作用.

例3。1 求解如下定解问题

其中为实数.
解 对（3.1）—（3。2)关于空间变量作Fourier变换得

解之可得
（3。3）
由于

故（3.3)可表示为

对上式取Fourier逆变换得

例3.2 求半平面上调和方程边值问题的有界解

解 对(3.4）-(3.5）关于变量作Fourier变换得

解之可得

由于有界，故 结合初始条件可得
（3。6)
直接求的Fourier逆变换得

故(3.6）可表示为

对上式取Fourier逆变换得

例3。3 设有一单位长度均匀杆，侧面绝热,两端温度为零度。若初始温度为，求杆内的温度分布。
解 设为杆内温度分布，则满足如下定解问题

对(3.7）—（3。9)关于时间变量作Laplace变换，并记的像函数为可得

即

(3.10)是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程
通解为

利用边界条件(3。11）得
,
故

取Laplace逆变换可得
。
例3。4 求下面半无界弦振动问题有界的解
解 对(3.12）—(3。14）关于时间变量作Laplace变换得

或者

解之可得

由于有界，故结合初始条件可得
（3.15)
对（3。15)取Laplace逆变换可得
(3。16)
由于
=
=
（3.17）
利用Laplace变换的延迟性质

其中为阶跃函数。 取得
=

（3.18)
将（3。17）-（3.18）代入到(3.16）中便得

注1 定解问题(3。7）—（3。9)也可用分离变量法求解. 一般而言，Laplace变换方法的求解过程比较繁琐，而分离变量法已成固定模式，求解过程相对简明.

习 题 四
1. 用Fourier变换求解如下定解问题
（1）
（2）
2 用Fourier变换求解如下定解问题
（1）
（2）
3。 用Fourier变换求解如下定解问题
(1）
（2）
4。 求解如下一维波动方程Cauchy问题
（1）
(2)
5 求解如下Cauchy问题
（1)
（2)
（3）
6。 由三维波动方程Cauchy问题解的公式，利用降维法求解如下问题

7。 考虑如下定解问题

设和为直线上奇（偶，周期为的）函数，证明该问题的解关于变量也是奇(偶，周期为的）函数. 对于一维热传导方程Cauchy问题，类似结果是否成立？
8 设和在二阶连续可导，,求解如下波动方程半无界问题

如将该问题的边界条件换为 ，如何求解相应的定解问题？
9．考虑如下定解问题

其中初始波形为如下锯齿波

（1）分别画出时刻的的波形图.
（2）如果将初始位移换为，分别画出时刻的的波形图。
10． 考虑如下定解问题

其中

试找出恒为零的区域，又弦线上的点在那个时刻开始振动。
11。 考虑如下定解问题

其中

若区域为正方形,试指出恒为零的区域.
12. 考虑如下定解问题

若除在球形域取正值外其它恒为零，试指出恒为零的区域。
13 求解下面定解问题

14考虑下面定解问题

求出该定解问题解的有限表达形式。利用结果。
15 考虑下面定解问题

求出该问题解的有限表达形式。
16 利用误差函数求解下面定解问题

其中