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江西师范大学2013届学士学位毕业论文
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

中学数学中常用的解题方法与技巧

The commonly used in middle school mathematics problem solving methods and skills

姓 名： ***
学 号： 090*0**9
学 院： 数学与信息科学学院
专 业： 数学与应用数学
指导老师：
完成时间： 201 年 月 日

中学数学中常用的解题方法与技巧
***
【摘要】随着素质教育的推进，在学习中学数学时，常会遇到一些比较复杂的问题，如果用直接求解的方式来解答，往往会使问题变得更加复杂，于是我们提出了数学常用解题方法和技巧，同时也证实了掌握数学解题方法和技巧是十分必要的。为了让读者能够更系统地了解中学数学常用的解题方法和技巧，本文通过理论阐述和例题分析就中学数学常用的解题方法和技巧进行详细的介绍。
本文主要介绍了配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。
【关键词】中学数学 解题方法 解题技巧

The commonly used in middle school mathematics problem solving methods and skills
*********
【Abstract】With the advancement of quality education, the study of middle school mathematics, often meet some complicated problems, if use direct solving way to answer, often will make problems become more complicated, so we put forward commonly used mathematical problem solving methods and skills, also confirmed the master mathematics problem-solving methods and skills are very necessary. In order to let the reader can understand more system middle school mathematics common problem solving methods and skills, in this paper, through theoretical elaboration and sample analysis the secondary school mathematics common problem solving methods and techniques for detailed introduction.
This article mainly introduced the distribution method, the factorization method, the change of variable method, the discriminant method and wada theorem, undetermined coefficient method, construction method, geometric transformation method.
【Key words】mathematics solution approach problem-solving skills

目 录
1 引言 1
2 中学数学常用的解题方法 1
2.1 配方法 1
2.2 因式分解法 2
2.2.1提公因式法 2
2.2.2运用公式法 2
2.2.3十字相乘法 2
2.2.4分组分解法 2
2.3 换元法 3
2.3.1局部换元 3
2.3.2三角换元 4
2.3.3均值变换 4
2.4 判别式法与韦达定理 5
2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征 5
2.4.2构造方程，巧妙求根 6
2.5 待定系数法 6
2.5.1用待定系数法分解因式 6
2.5.2待定系数法在数列中的应用 7
2.5.3待定系数法在函数中的应用 7
2.6 构造法 8
2.6.1构造数 8
2.6.2构造函数或方程 8
2.6.3构造等式或不等式 9
2.7 几何变换法 9
2.7.1平移变换 10
2.7.2旋转变换 10
2.7.3对称变换 10
3 小结 11
参考文献 12

III

1 引言
众所周知，数学解题与数学的进展是紧密相关的．我国古代数学经典《九章算术》就是从“解题”形式展现那个时代数学发展的丰硕成果的．伴随着数学的发展，数学解题的思想、方法等也日臻深化和完善．如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙，千变万化，异彩纷呈，美不胜收．著名数学教育家波利亚说过: “一位好的数学老师或学生应努力保持解题的好胃口．”这是因为，解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段; 解题是培养分析问题、解决问题能力和创造能力的有效途径．
2 中学数学常用的解题方法
本节将介绍中学数学常用的解题方法，其中包括配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。
2.1 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成”完全平方”)的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解或者缺项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式，将这个公式灵活运用可得到各种基本配方形式。其次结合其它数学知识，我们可以相应地可得到另外一些配方形式。如：，，……
例1 如果，求证：
证明

故
所以
例2 求证不论为何值，关于的方程总有实根，并求当为何锐脚时，方程有等根。
证明：
，所以方程总有实数
根。又当时，即时，方程有两个实数根。
2.2 因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、这种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
2.2.1提公因式法
如果一个多项式中含有公因式，将这个公因式提取出来放在括号的前面从而将一个多项式华为两个整式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
例3
解：

2.2.2运用公式法
这里的公式指的是平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立方和公式。
例4 把下列各式进行因式分解：
(1) (2)
解：(1)
(2)
2.2.3十字相乘法
十字相乘法主要解决二次三项式这一类问题。具体操作如下：
（1）十字型的左边是把二次项分解成两个因式的成绩，右边是把常数项分解成两个因数的乘积，使得交叉相乘乘积的和等于一次项的系数；
（2）书写时要横着写且十字形左边的未知数常常省略。
2.2.4分组分解法
把多项式中某些项放在一起从而实现因式分解，这种分解方法叫分组分解法，一般地当多项式项数多于三项时用分组分解法。
例5 把下列各式进行因式分解：
(1) (2)
解：(1)
(2)
2.3 换元法
一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质就是“转化与化归”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，获得问题的解决[3]。
换元的基本方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
2.3.1局部换元
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，摸个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：，先变形为，设，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
例6 求函数的极值。
解：因为函数的定义域为：,
（1）当时，，设，
则原函数

当且仅当即 时取等号。
（2）当时，，，所以。
所以当或时，；
当或时，。

2.3.2三角换元
三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数的值域时，易发现，设，，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
例7 实数、满足（式），设，求的值。
解：设代入式得，，
解得；

2.3.3均值变换
如遇到形式时，设，等等。
例8 的三个内角满足：，，求的值。
解：中已知，可得，由，
设，代入已知式得：

2.4 判别式法与韦达定理
一元二次方程 2ax+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判别，△=2b-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征
判断一元二次方程根的情况，一般依据根的判别式，有时还要结合韦达定理，以下是我们常见的三种情况：
两个正根，两个负根，一正一负。
例9 如果函数图像与轴有两个交点，且都在轴的正半轴上，求的取值范围。
解：由题意知：有两个不相等的正实数根，设它的
两个根为、，则有：，即
解不等式组得：或，即的取值范围是：。
2.4.2构造方程，巧妙求根
如果知道两项的和与积，让我们求解两项。按照一般的代入化简，利用求根公式求值，计算量很大。而利用两项的和与积构造一元二次方程，运用“十字相乘法”求解，则容易得多。一般的，已知、，所对应的的二次方程为。
例10 已知公差大于的等差数列中，，，求：。
解：又
设、分别为方程的两个根
数列的公差大于，
解之得：，

2.5 待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题意设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
2.5.1用待定系数法分解因式
例11 分解因式。
解：先把分解成
设
计算

则有，解得 。
故 。
2.5.2待定系数法在数列中的应用
例12 求和：。
解：设，比较系数，得
，，，故，
则

2.5.3待定系数法在函数中的应用
例13 已知直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过、两点，且对称轴方程为，求此二次函数的解析式。
解：对称轴方程为，可设二次函数的解析式为，
直线与轴、轴分别相交于、两点，由此可求得两点坐
标分别为：，，
根据二次函数的图像经过、两点可得，
，
此二次函数的解析式为

2.6 构造法
“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情：那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”这是著名数学家韦尔在《数学的思维方式》中向我们介绍构造法时讲的一段话[6]。
所谓构造法，是指按定势思维难以奏效时，应根据题设条件或结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察分析解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的外形、数值、位置等特征，使用已知条件中的元素为元件，运用已知数学关系式为支架，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐讳不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，并借助该数学对象简捷地解决数学问题的方法［10］．
2.6.1构造数
构造某些特殊结构，特殊性质的整数或整数组合，能使一些复杂的数变得有规律，使计算更加简单。
例14 证明：
证明：本题若直接计算十分繁杂，且方法不具一般性。下面构造辅助量

显然
又，所以，
从而
2.6.2构造函数或方程
构造函数或方程，就睡从问题本身的特点出发构作一个辅助函数或方程，把问题转化为研究这一函数或方程的性质，从而达到解题的目的。
例15 已知、、、、是实数，且，，求证：。
解：将已知条件变形为，由此联想到构造一个关于
的二次函数
，对于任意实数恒成立，故其二次式的判别式小于或等于零，
即
，解得
2.6.3构造等式或不等式
例16 求满足下列方程组的实数解，，。
解：此方程组以常规方法是不易求解的，观察每个方程都有的形式，
联想到，于是构造下列不等式：，与原方程组比
较，得，，故有，代入元方程组解得或
2.7 几何变换法
利用几何变换的思想和方法解几何问题，为我们克服解几何问题作辅助线的困难提供了一条有效途径。利用几何变换解题时，一般不需要对整个图形进行变换，而只需要对图形中有关部分进行变换，将其余部分保持不变，从而使整个图形改组，化不规则图形为规则图形，化一般为特殊，化隐蔽关系为明显关系，通过变换将不利条件转化为有利条件，让有用条件保持不变，这就是利用几何变换解题的基本途径[8]。
几何变换一般包括：平移变换、旋转变换、对称变换。
2.7.1平移变换
将几何图形中的各顶点沿它们所在的一组平行线向同一方向移动相同的距离, 这种几何变换的方法叫做平移变换。
例17 如图1，四边形中，∥，与互余，点分别是、的中点，试证明。
解析：线段、、比较分散，没有集中在一个三角形中，由于∥，所以可以分别将、进行平移变换，构成与的差，然后再证明等于它的一半。
2.7.2旋转变换
将几何图形绕着一固定点按顺（或逆）时针方向转动到另一个位置，像这样的变换叫做旋转变换。
例18 如图2，是等边外一点，试说明。
解析：本题采用其他方法证明有一定的困难。若采用旋转变换思想，问题就简单的多。将绕点顺时针旋转得到，则有，，，所以是等边三角形，所以。在中，根据三角形三边之间的关系有：，于是得证。
2.7.3对称变换
把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重合,称这两个图形成轴对称。如果一个图形沿着某直线对折,对折的两部分能够完全重合, 这种图形称为轴对称图形。
例19 如图3，在中，，平分，交于。求证：。
解析：和分别是、的边，但这两个三角形没有两组边相等，故不能利用两个三角形证得。若将沿着翻折到的位置，这样这两个三角形就全等，于是把迁移到的位置。因、是的两边，要证，只需证，在中，是其外角，是不相邻的一内角，故，得证。
3 小结
从上述的例子中可以看到，解题运算中方法和技巧越是灵活，运算也就越快，越准。在某种意义上来说，解题运算能力的提高，往往是在运算的技巧上表现出来，我们看一个学生解题能力的高低，往往是看他是否能采用灵活和简捷的方法，因而灵活的解题运算技巧在运算能力的提高中具有重要作用，合理的解题技巧要以简化解题运算程序，提高解题运算速度，经常注意解题的合理技巧的培养及训练，还可以锻炼学生的观察分析能力，使思维敏捷而深刻，长期的训练学生合理的解题运算技巧，使他们会探索、会思考、会独立地分析问题和解决问题，才能使之终生受益。

参考文献
[1]刘光明,龙建新.配方法在数学解题中的应用[J].高中生, High School Students, 2010年12期：18
[2]翁仕林.浅谈中学数学因式分解的几种方法[J].考试(教研版), Examinations，2012年05期：92
[3]李胜平.数学联想思维方法在组合等式中的应用[J].大理学院学报，2007，6（6）：75-76.
[4]王军.如何用韦达定理求解数学问题[J].现代教育，2011-02-03：55
[5]和洪云.“换元法”在数学解题中的应用[J].大连理学报，2011年04期：17-19
[6]佟健华,李海滨.中学数学构造法的模式[J].张家口职业技术学院学报,1999年02期：50-52
[7]黎家银.浅谈几何变换在初中数学中的运用[J].四川文理学院学报,2008年S1期：137-138
[8]张雄,李得虎.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社.2005
[9]冯克诚.实用中学数学解题思路策略与当打技巧大典[M].中国对外翻译出版公司，1999
[10]张学斌.中学数学教学教程[M].北京：科学出版社，2000

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