北师版九年级下册第三章圆知识点及习题.doc
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1、九年级下册第三章 圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义: 描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O” 集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径, 圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。2、 与圆相关的概念 弦和直径: 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径:经过圆心的弦叫做直径
2、。 弧、半圆、优弧、劣弧: 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示,以CD为端点的弧记为“”, 读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。 优弧:大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。) 弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。 等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.3、 点与圆的位置关系及
3、其数量特征: 如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二. 圆的对称性: 1、圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。 2、圆是中心对称图形,对称中心为圆心 3、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的
4、两条弧。 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备: 过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。三. 圆周角和圆心角的关系: 1.1的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1弧. 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB= , 这是错误的. 3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与
5、圆相交的角,叫做圆周角. 4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等; 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径; 推论3:圆内接四边形的对角互补。圆周角的三种情况: BACOOABCBA CCO四. 确定圆的条件: 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2
6、)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 外接圆五. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离 设O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;dr 直线L和O相交.两个公共点d=r 直线L和O相切.惟一公共点,惟一的公共点做切点.dr 直线L和O相离.没
7、有公共点 相离 相切 相交 2. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.3. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两切线长相等即:、是的两条切线 平分4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这
8、个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)外离(图1) 无交点 ; 外切(图2) 有一个交点 ;相交(图3) 有两个交点 ;(Rr)内切(图4) 有一个交点 ;(Rr)内含(图5) 无交点 ;(Rr) 2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.3. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七. 弧长及扇形的面积1. 圆
9、周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式:圆的面积 (R表示圆的半径)6. 扇形的面积公式: 扇形的面积 =(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数,表示弧长)弓形的面积公式: (1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 八. 圆锥的有关概念:1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着
10、直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是: 圆锥的体积:圆柱: (1)圆柱侧面展开图 = (2)圆柱的体积:*九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)
11、为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.*十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。_图6_P_O_B_A如图6,PA,PB分别切O于A、BPA=PB,PO平分APB2弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。如
12、图7,CD切O于C,则,ACD=B3和圆有关的比例线段: 相交弦定理:圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等;推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图8,APPB=CPPD如图9,若CDAB于P,AB为O直径,则CP2=APPB4切割线定理切割线定理,从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图10, PT切O于T,PA是割线,点A、B是它与O的交点,则PT2=PAPBPA、PC是O的两条割线,则PDPC=PBPA5两圆连心线的
13、性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,或者说,连心线过切点。如果两圆相交,那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图11,O1与O2交于A、B两点,则连心线O1O2AB且AC=BC。6两圆的公切线 两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图12,AB分别切O1与O2于A、B,连结O1A,O2B,过O2作O2CO1A于C,公切线长为l,两圆的圆心距为d,半径分别为R,r则外公切线长: 如图13,AB分别切O1与O2于A、B,O2CAB,O2CO1C于C,O1半径为R,O2半径为r,则内公切线长: _图9_P_A_B_C_D_O_图10_B_D_C_O_A_T_P_O_B_D_P_A_C图
14、8_O_C_D_A_B_图7_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图13_图11_B_C_A_O_2_O_13. 1 圆的认识1、(1)下列命题:直径是弦;半径确定了,圆就确定了;半圆是弧,弧不一定是半圆;长度相等的弧是等弧;弦是直径。其中错误的说法有_个。 (2)如何在操场上画一个半径是5m的圆?说出你的理由。 (3)如图,在O中,直径是_,弦有_,劣弧有_,优弧有_ _2、判断:直径是弦,弦是直径( ) 半圆是弧,弧是半圆( )优弧一定大于劣弧( ) 半径相等的圆是等圆( )A小羊DCB3、O的半径为5,圆心O的坐标为O(0,0),点A的坐标为A(4,2)则点A与O的位置关系是( )
15、A.点A在O内 B.点A在O上 C.点A在O外 D.点A在O内或在O上4、如图,一根绳子长4 m ,一端拴着一只羊,另一端拴在墙BC边A处的柱子上,请画出羊的活动区域5、如图,已知在同心圆O中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点求证:AOCBODOA C D B垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。32 圆的对称性(一)过圆内一点(非圆心),最长弦为直径,最短弦是和这条直径垂直且过该点的弦1.若O的直径为10厘米,弦AB的弦心距为3厘米,则弦AB的长为_2.已知O的半径为8cm,OP=5cm,则在过点P的所有弦中,最短的弦长为_ 最长的弦长为_3.已知O的半径为5cm,则垂直
16、平分半径的弦长为_ABDCO8004.已知圆的两弦AB、CD的长分别是18和24,且ABCD,又两弦之间的距离为3,则圆的半径长是( ) A.12 B.15 C.12或15 D.215.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,求水的最大深度CD32 圆的对称性(二)1.在O中,60的圆心角所对的弦长为5cm,则这个圆的半径为_2.若O的弦AB的长为8cm,O到AB的距离为cm,弦AB所对的圆心角为_3.下列结论中正确的是( ) A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等OBCAC.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦4.如图,三点A、
17、B、C在O上(1)已知:ABC=ACB,求证:AB=AC; (2)已知:AB=AC,求证:ABC=ACB圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.33 圆周角和圆心角的关系(一)1.如图,点A、B、C在O上(1)若AOB=70,则ACB=_;(2)若ACB=40,则AOB=_2.如图,O 的直径AB和弦CD的延长线相交于点P,AOC=64,BOD=16,推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;则APC的度数为_3.如图,O的直径AD=6,BAC=30,则弦BC的长为 ( )A.3 B. OCBAC.6 D.ODCBACPODBA(第
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