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高等数学复习题与答案解析一、一元函数微积分概要（一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域:(1)y=216x+xsinln，(2)y=)12arcsin(312xx.解(1)由所给函数知,要使函数y有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即,0sin,0162xx推得2,1,0)12(244nnxnx这两个不等式的公共解为4x与0 x所以函数的定义域为),4),0(.(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即,112,03,032xxx推得,40,33xx即30 x,因此，所给函数的定义域为)3,0.2.设)(xf的定义域为)1,0(，求)(tan xf的定义域.解：令xutan,则)(uf的定义域为)1,0(u)1,0(tan x,x（k,k+4）,k Z,)(tan xf的定义域为x（k,k+4）,k Z.3.设)(xf=x11，求)(xff，)(xfff.解：)(xff=)(11xf=x1111=x11(x1,0),)(xfff=)(11xff=)11(11x=x(x0,1).4.求下列极限：（1）123lim21xxxx,（2）652134lim2434xxxxx,解：原式=1)1)(2(lim1xxxx解:原式=424652134limxxxxx=)2(lim1xx=2.（抓大头）=1.（恒等变换 之后“能代就代”）（3）xxx222lim2,（4）330sintanlimxxx,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2xxxxx解：0 x时33tanxx,=221lim2xx33sinxx,=41.（恒等变换 之后“能代就代”）原式=330limxxx=1lim0 x=1.（等价）（5）)100sin(limxxx,（6）2121lim()11xxx，解：原式=100limsinlimxxxx解：原式=2211212(1)lim()lim111xxxxxx=0+100=100（无穷小的性质）11(1)11limlim(1)(1)12xxxxxx(7)215limxxx解:原式=52115limxxx（抓大头）（8）11lim21xxx.解：因为0)1(lim1xx而0)1(lim21xx，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决因为011lim21xxx，所以当1x时，112xx是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即11lim21xxx（9）3sinlim1xxxx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x时分子，极限不存在，但sin x是有界函数，即sin1x而0111lim1lim33xxxxxx，因此当x时，31xx为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得3s i nl i m01xxxx.（10）203coscoslimxxxx解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sinsin2limxxxx=441)22sin4(limsinlim0 xxxxxx（也可用洛必达法则）（11）xxx)11(lim2.解一原式=10)11(lim)11(lim)11()11(limxxxxxxxxxxx=1ee1，解二原式=)1()(2)11(lim2xxxx=1e0（12）30tansinlimxxxx解：xxxx30sinsintanlim=xxxxxcos)cos1(sinlim3020sin(1cos)1limcosxxxxxx=2202sin2limxxx=21（2222sin,0 xxx）（等价替换）5.求下列极限（1）201cotlimxxxx（2）)eeln()3ln(coslim33xxxx（3）)1ln(11lim20 xxxx（4）)ln(lim0 xxnx（5）xxxcos1lim解：（1）由于0 x时，1tancotxxxx，故原极限为00型，用洛必达法则所以xxxxxxxxxxsinsincoslim1cotlim202030sincoslimxxxxx（分母等价无穷小代换）20cossincoslim3xxxxxx01sinlim3xxx31.（2）此极限为，可直接应用洛必达法则所以)eeln()3ln(coslim33xxxx=)eeln()3ln(limcoslim333xxxxx3eelime1lim3cos333xxxxxxxelim3cose1333cos.（3）所 求 极 限 为型，不 能 直 接 用 洛 必 达 法 则，通 分 后 可 变 成00或型.)1ln(11lim20 xxxxxxxxxxx2111lim)1ln(lim02021)1(21lim)1(211lim00 xxxxxx.（4）所求极限为0型，得nxnxxxxx100lnlimlnlim（型）=11011limnxxnx=.01limlim0110nxnxnxxnx（5）此极限为型，用洛必达法则，得1sin1limcoslimxxxxxx不存在，因此 洛必达法则失效！但101c o s1lim11cos11limcoslimxxxxxxxxxx.6.求下列函数的极限：（1）42lim22xxx，（2）,1,1sin2xaxxxf,0,0 xx当a为何值时，)(xf在0 x的极限存在.解：(1)41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx,41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在（2）由于函数在分段点0 x处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0 x处的左极限与右极限于是，有aaxxaxxxfxxxx0000lim)1sin(lim)1sin(lim)(lim，1)1(lim)(lim200 xxfxx，为使)(lim0 xfx存在，必须有)(lim0 xfx=)(lim0 xfx，因此，当a=1 时，)(lim0 xfx存在且)(lim0 xfx=17.讨论函数,1sin,)(xxxxf00 xx，在点0 x处的连续性解：由于函数在分段点0 x处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0 x处的左极限与右极限因而有01sinlim)(lim,0lim)(lim0000 xxxfxxfxxxx，而,0)0(f即0)0()(lim)(lim00fxfxfxx，由函数在一点连续的充要条件知)(xf在0 x处连续8.求函数xxxxf)1(1)(2的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(xf的间断点为1,0 xx.21lim)(lim11xxxfxx而)(xf在1x处无定义，故1x为其可去间断点.又xxxfx1lim)(00 x为)(xf的无穷间断点.综上得1x为)(xf的可去间断点,0 x为)(xf的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y=)(xf处处有切线，则y=)(xf必处处可导.答：命题错误.如：xy22处处有切线，但在0 x处不可导.（2）若Aaxafxfax)()(lim（A为常数），试判断下列命题是否正确.)(xf在点ax处可导,)(xf在点ax处连续,)()(afxf=)()(axoaxA.答：命题、全正确.(3)若)(xf，)(xg在点0 x处都不可导，则)()(xgxf点0 x处也一定不可导.答：命题不成立.如：)(xf=,0,0,0 xxx)(xg=,0,0,0,xxx)(xf，)(xg在x=0 处均不可导，但其和函数)(xf+)(xg=x在x=0 处可导.（4）若)(xf在点0 x处可导，)(xg在点0 x处不可导，则)(xf+)(xg在点0 x处一定不可导.答：命题成立.原因：若)(xf+)(xg在0 x处可导，由)(xf在0 x处点可导知)(xg=)(xf+)(xg)(xf在0 x点处也可导，矛盾.（5）)(0 xf与)(0 xf有区别.答：命题成立.因为)(0 xf表示0)(xxxf在处的导数;)(0 xf表示对0)(xxxf在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(xfy在点0 x的某邻域有定义，且)(0 xxf)(0 xf=2)(xbxa，其中ba,为常数，下列命题哪个正确？xf在点0 x处可导，且axf0,xf在点0 x处可微，且xaxfxxd|d0,xaxfxxf00（|x很小时）.答：、三个命题全正确.2.已知xxcos)(sin，利用导数定义求极限xxx1)2sin(lim0.解：xxx1)2sin(lim0=xxx2sin)2sin(lim0=2|)(sinxx=2cos=0.3.求，xxxf1ln)(00 xx，的导数.解：当0 x时，xxf11)(，当0 x时，1)(xf，当0 x时，xfxfxfxffxx)0()(lim0)0()(lim)0(00，所以10lim)0(0 xxfx，1eln)1ln(lim0)1ln(lim)0(100 xxxxxxf，因此1)0(f，于是,1,11)(xxf.0,0 xx4.设)(),1ln()(xffyxxf，求dxdy解：)1ln(1ln)(xxffy,)1ln(1)1ln(11ddxxxy)1)(1ln(11xx.5.已知22arctanln,xxyy求y.解：两端对x求导，得)(1)()(1122222yxyxyxyx，222222222221yxyyxyxyyxyyxy，整理得xyyxy)(，故xyxyy，上式两端再对x求导，得22)()()(1()(1(xyxyyxyyxyxyyyxyxyyxyyy=2)(22xyyyx，将xyxyy代入上式，得2)(22xyyxyxyxy322)(2222yxxyyxxy322)()(2xyyx.6.求y=323)4()3)(2)(1(xxxxx的导数xydd解：两边取对数：yln=)4ln(ln3)3ln()2ln()1ln(32xxxxx,两边关于x求导：413312111321xxxxxyy,)413312111(32ddxxxxxyxy.7.设xxxfe)(，求)(xf.解：令xxye,两边取对数得：xyxlneln,两边关于x求导数得：xxyyxxelne1)elne(xxyyxx即)elne(exxxyxxx.8.设,sin),(2xuufy求xydd和22ddxy.解：xydd=2cos2)(xxuf,22ddxy=)sin4cos2)()(cos4)(222222xxxufxxuf.9.xxye4,求y)4(.解：xxye43,xxye122,xxye24,xye24)4(.10.设cossinxttyt，求22ddxy.解：d(sin)cosd1sin(cos)yttxttt，22dddcosdcosdcos1()()()dddd1sind1sind1sindyyttttxxxxtttxtt222sin(1sin)cos11(1sin)1sin(1sin)tttttt.11.求曲线,3tytx在点（1，1）处切线的斜率.解：由题意知：,1,13tt1t,33)()(dd12131ttttttxy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12.求函数xxytanlne的微分.解一用微分的定义xxfyd)(d求微分，有xxxxxxyxxxdsectan1eed)e(d2tanlntanlntanlnxxxxd)2sin21(etanln.解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得xxxxxxytanlntanlntanlnedde)e(dd)tan(lndedetanlntanlnxxxxx)tand(tan1edetanlntanlnxxxxxxxxxxxxxdcos1tan1ede2tanlntanlnxxxxd)2sin21(etanln.13.试证当1x时，xxee.证明：令xxfxee)(，易见()f x在),(内连续，且0)1(fee)(xxf.当1x时，ee)(xxf0可知()f x为 1,(上的严格单调减少函数，即()(1)0.f xf当1x时，ee)(xxf0，可知()f x为),1 上的严格单调增加函数，即()(1)0f xf.故对任意,1x有()0,f x即.0eexxxxee.14.求函数344xxy的单调性与极值.解：函数的定义域为),(.)3(3223xxxxy，令,0y驻点3,021xx列表x)0,(0)3,0(3),3(y0 0+y极小由上表知，单调减区间为)3,(，单调增区间为),3(，极小值427)3(y求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302xyxxy不能确定0 x处是否取极值，,093xy得427)3(y是极小值.15.求3)(xxf+23x在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：xxxf63)(2,令0)(xf,得2,021xx,66)(xxf,06)0(f,06)2(f,)(xf的极大值为)2(f4，极小值为0)0(f.50)5(f,2 0 0)5(f.比较)5(),0(),2(),5(ffff的大小可知：)(xf最大值为200，最小值为50.16.求曲线32310510 xxy的凹凸区间与拐点.解：函数的定义域为,21010 xxy,xy2010,令0y,得21x,用21x把,分成)21,(，),21(两部分.当x)21,(时，0y,当x),21(时，0y,曲线的凹区间为),21(凸区间为),21,(拐点为)665,21(.17.求函数)1ln(2xy的凹向及拐点.解：函数的定义域),(，,122xxy222222)1()1(2)1(22)1(2xxxxxxy，令,0y得1y，列表由此可知，上凹区间(1,1),下凹区间(,1)(1,)，曲线的拐点是)2ln,1(.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxyln，（2）1222xxxy，（3）213xxxy.解（1）所给函数的定义域为),0(.由于011limlnlimxxxxx，可知0y为 所给曲线xxyln的水平渐近线.由于xxxlnlim0，可知0 x为曲线xxyln的铅直渐近线.（2）所给函数的定义域)1,(,),1(.由于122lim)(lim211xxxxfxx，122lim)(lim211xxxxfxx，可知1x为所给曲线的铅直渐近线（在1x的两侧()f x的趋向不同）.x)1,(1(1,1)1),1(y0+0 y拐点拐点又axxxxxxfxx1)1(22lim)(lim2，bxxxxxxxaxxfxxx112lim)1(22lim)(lim2，所以1xy是曲线的一条斜渐近线.（3）213lim1xxxx,故1x为曲线的铅直渐近线,213lim2xxxx,故2x为曲线的铅直渐近线,2133limlim0121211xxxxxxxxx,故0y为曲线的水平渐近线,曲线的渐近线为：2,1,0 xxy.19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为xxC23)(，15)(xxxR,其中x为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本CM=xxC1)(边际收入RM=2)1(5)(xxR边际利润xxMMqLCR1)1(5)(2.（2）设p为某产品的价格，x为产品的需求量，且有801.0 xp,问p为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0 xp得10ddpx,所以需求价格弹性80)10(1.080ppppEpEx,故当80pp 1,即 40p80 时,需求弹性大;当180pp0,即 0pn1，而级数21nn发散，由比较判别法知级数2ln1nn发散又因为级数2ln)1(nnn是一交错级数，nnln1lim=0 且nln1)1ln(1n，由莱布尼茨判别法知，级数2ln)1(nnn收敛，故此级数条件收敛(2)当 01a时，nna11lim0，由级数收敛的必要条件知级数11)1(nnna发散当1a时,先判断级数11)1(nnna=111nna的敛散性，因为111limnnnaa=nnnaaa111lim=a11，由比值判别法知，级数11)1(nnna绝对收敛4.将循环小数83.0化为分数.解：83.0=38.01038.01038.01038.0642=1210138nn=1299381038nn.5.判定级数142cosnnn的敛散性.解：因为级数42cosnn41n,而级数141nn收敛，故级数142cosnnn绝对收敛.6.求下列幂级数的收敛域：（1）1!nnxn,（2）1)!2(nnnx.解：（1）1limnnnaaR=)!1(!limnnn=11limnn=0,级数1!nnxn的收敛域为0|xx.（2）1limnnnaaR=)!1(21)!2(1limnnn=1)22)(12(limnnn=,级数1)!2(nnnx的收敛域为),(.7.求下列幂级数的收敛域(1)nnxn)3(11，(2)0)21(nnx，(3)02)!2()1(nnnnx解(1)因为nnnaa1lim=13)1(3limnnnnn=3)1(limnnn=31，所以收敛半径R=3，收敛区间为（3，3）当x=3 时，级数为1)1(nnn，收敛，当x=3 时，级数为11nn，显然发散故收敛域为3，3)(2)因为nnnaa1lim=122limnnn=21，所以收敛半径R=2，由1x2 得，收敛区间为（3，1），当3x时，级数为nn)1(0，发散，当x=1 时，级数为01n，发散，故级数的收敛域为（3，1）(3)幂级数02)!2()1(nnnnx缺少奇次项，直接用比值判别法有nnnxnnx222)!22()!2(lim=)12)(22(lim2nnxn=0，收敛半径R=，收敛域为（,）8.求幂级数0)1()1(nnnxn的和函数.解：设0)1()1()(nnnxnxs,两端关于x求积分得：xxsxd)(0=01)1(nnnx=xx1)1,1(x两端求导得：2)1(1)(xxs,即02)1,1(,)1(1)1()1(nnnxxxn.9.将xxf1)(展开成3x的幂级数，并求收敛域.解：)3(31)(xxf=)33(1131x,因为011)1(nnnxx)1,1(x,所以0)33(31)1()33(1131nnnxx=01)3()31()1(nnnnx,其中1331x，即60 x.当0 x时，级数为031n发散；当6x时，级数为031)1(nn发散,故x1=01)3()31()1(nnnnx)6,0(x.10.以函数xxf11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x11,（2）211x,（3）)1ln(x,（4）xarctan,（5）xcotcos.解：（1）x11=)(11x=0)1,1(,)1(nnnxx.（2）211x=02)(nnx=02)1(nnnx,)1,1(x.（3）)1ln(x=xxx0d11=xnnnxx00d)1(=00d)1(nxnnxx=011)1(nnnxn,1,1(x.(4)211)(arctanxx=02)1,1(,)1(nnnxx,于是xarctan=xnnnxx002d)1(=012121nnnxn,1,1x.(5)211)cotarc(xx=021)1,1(,)1(nnnxx,于是xo tar c=xnnnxx0021d)1(=0121121nnnxn,1,1x.