六年级奥数专题-6数的整除——崔氏特征数.doc

数的整除——崔氏特征数

本讲要点

1. 整除的定义
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“”．

2. 整除性质：
⑴ 传递性 若，，则．
⑵ 可加性 若，，则．
⑶ 可乘性 若，，则．

3. 整除的特征
⑴2,5，的整除特征,能否被和整除是看末两位；能否被和整除是看末三位；能否被和整除是看末四位
(,,,)
⑵的整除特征
能否被整除是看数字之和是否是的倍数，并且这个数除以的余数和这个数数字之和除以的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几
⑶的整除特征
①能否被，，整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为，，的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被除余几就代表 这个数除以余几
②能否被整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为的倍数，并且算出的差除以余几就代表这个数除以余几
③被整除特征从右往左每两位一段，看各段之和能否被整除
⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征
如，，，
（这样我们就知道至所有整数的整除特征）
4. 利用整除特征判断余数问题
一个数如果不能被整除要问除以余几，我们可以用奇数位数字之和减偶数位数字之和的差除以的余数（如果不足补的倍数）
例1

在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数．
（1）、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；
（2）、一共有多少种满足条件的填法？
【分析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．
⑴依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；
⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．

例2

用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
【分析】 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．
要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：
偶位 奇位
⑴ 1，8 9，8
⑵ 1，9 8，8
⑶ 9，8 1，8
⑷ 8，8 1，9
经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：，，能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．
例3

在小于的自然数中，能被整除，并且数字和为的数，共有 个。
共18个
例4

下图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比如a=5×10=50，b=50×12=600。那么c方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。

共102个0，用崔氏造坦克法。
例5

已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？

被99整除的规律是从末尾开始，两位一段，求和，和为99的倍数则原数就是99的倍数。很容易求得原数为200731212.

家庭作业

1. 要使能被36整除，而且所得的商最大，那么、、分别是多少？
因为，所以能被4整除，从而只可能是1，3，5，7，9.要使商最大，、应尽可能大，先取，则是9的倍数，，时，取得最大值。

2. 是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入个数字，所得到的个四位数：依次可被，，整除．”问：数学老师先后填入的个数字的和是多少?
或0

所以三个数字和为。或0+8+6=14.

3. 六位自然数能被23整除，末两位数有多少种情况．
试除法。因为，把余8看做不足15。所以，方框中的数为15、38、61、84四种情况时，六位数能被23整除.所以末两位数有4种情况．

4. ，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？
积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．，，，共有3个5，2个2，所以方框内至少是．

5. 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
设原序数为，则反序数为，则
＋

因为等式的右边能被11整除，所以＋能被11整除

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