复变函数课后部分模拟题解答.doc
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1、1.2求下列各式的值。(1)(-i)解:-i=2cos( -30)+isin(-30) =2cos30- isin30(-i)=2cos(305)-isin(305) =2(-/2-i/2) =-16-16i1.2求下列式子的值(2)(1+i)解:令z=1+i 则x=Re(z)=1,y=Im(z)=1r=tan=1x0,y0属于第一象限角=1+i=(cos+isin)(1+i)=()(cos+isin) =8(0-i) =-8i1.2求下式的值(3)因为-1=(cos+sin)所以=cos(/6)+sin(/6) (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一1.2(4)求(1-i)的值。解:(
2、1-i) =(cos-+isin-) =cos()+isin() (k=0,1,2)1.3求方程+8=0的所有根。解:所求方程的根就是w=因为-8=8(cos+isin)所以= cos(+2k)/3+isin(+2k)/3 k=0,1,2其中=2即 =2cos/3+isin/3=1i =2cos(+2)/3+isin(+2)/3=-2 =2cos(+4)/3+isin(+4)/3= 1i习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。(1) Im(z)0 解:设z=x+iy因为Im(z)0,即,y0而所以,不等式所确定的区域D为:不包括实轴的上
3、半平面。由所确定的区域可知,不存在某一个正数M,使得确定区域内的每个点z满足,所以该区域是无界的。在该区域D内任意作一条简单闭曲线,该曲线的内部总是属于D区域,所以区域D为单连通区域。综上所述,该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域,是无界的单连通区域。描出下列不等式的区域或闭区域,并指出它是有界还是无界的,单连通的还是多连通的。1.5(2)解:该不等式的区域如图所示:y1 5 x 圆+=4的外部(不包括圆周),无界的,为开的多连通区域1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的0Re(z)1由直线X=0与X=1所围成的带形区域,不包括两直线在
4、内,是无界的、开的单连通区域。 1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的:(4)解:即为由圆周与所围成的环形闭区域(包括圆周),是有界多连通闭区域。如图:已知映射w=z3, 求(1) 点z1=i,z2=1+i,z3=+i,在w平面上的像。解:z=rei,则w=z3r3。于是 Z1=i=e,z2=1+i=()=Z3=+i=2(+i)=2()=经映射后在w平面上的像分别是 W1=-i, W2=(-+i)=-2+i2, W3=8i第47页3.5计算下列各题(1)= =-(zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1注
5、:因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/1.7:设f(z)=1/z2 (z/z*z*/z) (z0)当z0时,极限不存在解法一:首先假设zr ei 则有:(z/z*z*/z) r2 ( e-2 i- e2 i )/ r2 -2isin2 可见是随发生变化而变化的变量 所以根据极限必须为常数可知 当z0时,极限不存在 是以此题得证。解法二:首先假设zx+iy 则(z/z*z*/z) (z*2 z2 )/x2 y2 -4ixy/ x2 y2 所以可见,当z0时,即当x0, y0时 因为有lim (x0, y0)xy/ x2 y2 极限不存在 所以当z0时,f(z)=1/z2 (z/z*
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