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提高中学生数学解题能力的一些方法

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本科毕业论文

题 目:
院 系： 数学与信息科学学院
专 业：
姓 名：
学 号：
指导教师:
教师职称：

填写日期： 2012年 5月 日

摘要
培养中学生数学解题能力不但对发展中学生的各方面能力有重要作用，而且更能有效地提高中学数学教学质量，在解题教学中教师应该引导学生养成仔细、认真审题的习惯，掌握常用的解题思想方法，理顺解题思路,规范解题过程，加强题后反思，从而提高中学生的解题能力。在数学教学中，教师经常发现这样一个现象,不管你的教法多么新颖,例题讲得多么仔细,学生做题时仍会出现这样那样的问题，解决数学问题是数学的核心,学数学就意味着要解题，那么很显然，解题能力是数学水平的标志.

关键词：思想方法；解题思路；解题过程
Abstrcat

Keywords：

目 录
摘要 I
Abstrcat II
前言 1
第一章 巩固数学基础知识，劣实解题基础 2
第一节 巩固数学基础知识的重要性 2
第二节 巩固数学基本知识的方法 2
第二章 培养仔细审题的习惯，提高对数学题的审读能力 3
第一节 培养学生认真审题的习惯 3
第二节 训练学生审题过程的规范性 3
第三章 掌握数学思想方法，提高解题能力。..。。。。。。.。.。...。...。。。.。。。...。。。.。。。.。。.。...。。.。..。..。.。.。。.。。..。。。。.。...。......。....。。.。.。。。.。。....4
第一节 中学数学中常用的数学思想 5
第二节 中学数学中常用的数学方法 7
第四章 学生解题能力的培养 13
第一节 培养学生对所学知识融会贯通的意识，提高分析和解决数学问题的能力 13
第二节 培养学生熟练的解题技巧 13
第三节 培养学生机敏富有创造性的思维能力 14
第五章 培养反思习惯，提高解题能力 15
致谢 16
参考文献 18

16
前言
提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力是《数学课程标准》对基本能力认识的一个发展，是课程目标对数学能力的基本要求,而提高数学的提出问题、分析和解决问题的能力，数学表达和交流能力,以及独立获取数学知识的能力,是《数学课程标准》对数学能力的进一步要求，故培养解题能力，发展思维能力，已成为当前数学教学改革的一种趋势,他无疑是中学数学的一项重要任务。美国著名学家波利亚说过：“掌握数学意味着什么?那就是善于解题.”可见，解题时数学的核心，也是教学活动的基本形式和主要内容。要善于解题,就要具有较强的解题能力.数学中的解题能力就是综合运用数学基础知识、基本思想方法和技能以及逻辑思维规律,整体发挥数学基本能力进行分析和解决数学问题的能力。显然，解题能力是一种综合能力。在本文中,我通过自己的所读所闻所感，利用一些案例和教材中的实例来阐述自己在教学中培养学生数学解题能力的一些初步的看法，注重数学基础知识,完善中学生数学知识结构，是培养中学生的数学解题能力的基本前提，充分利用教材和反例，善于运用一题多变和一题多解，注意与学生一起探讨解题方法和总结要点等等。在情感方面，通过数学趣味和实际生活来调动学生的数学解题兴趣，注重数学解题习惯和兴趣的培养.个人收集整理，勿做商业用途本文为互联网收集，请勿用作商业用途

第一章 巩固数学基础知识,劣实解题基础
第一节 巩固数学基础知识的重要性
数学基础知识是解题的基本要素。所谓数学基础知识，是指数学教学大纲中要求掌
握的基本概念、定理、公式、定义、性质、法则等，它们是进行数学演算、推理、解题、
论证的依据。基 础知识是进一步学习数学的基础和必要条件，是学习中一个 最基本、也是最重要的部分；是影响学生深入学习的主要因 素，基础知识掌握的情况直接影响学生深入学习的效果的好 坏.学生只有掌握好数学基础知识，才能正确思考,理清题目思路，找到解决问题的突破口；只有掌握好数学基础知识，才能灵活运用所学的知识解决新问题。反之,学生如果没有掌握好数学基础知识，就会概念不清,思路混乱，问题难以得到解决。可见,如果没有基本的概念和科学的理论为前提，学生是无法进行推理论证的.如果没有基本的概念和科学的理论为支撑，学生的数学解题能力就无法得到提高.因此,培养学生的解题能力，一定要从数学基本知识的教学抓起,完善学生的知识结构.

第二节 巩固数学基本知识的方法
首先,要深刻理解数学知识的内涵和外延，明确其适用范围。其次,网络化系统化知识点，形成结构化知识以及网络化系统化知识点，形成结构化知识，同时还要做到经常运用所学知识，做到熟能生巧。
心理学研究发现，只有结构化的知识才是有用的知识。知识的结构化和系统化,首先要求教师在教学每个知识点时，应当把它们放在一个大的结构框架中，重视对教材内容进行结构分析，使学生对所学知识有良好的整体感.为使学生头脑里的知识形成良好的结构，还应加强知识间的比较和类比，揭示不同知识的共同性和相似知识的差异性.同时，教师应在课堂上注意提出需要广泛联想、需要多个知识点加以联系和概括的问题.另外，综合性习题和一题多解的训练是促进不同知识相互沟通的有效方法，利用多个知识点和多种方法求解同一问题,可以使学生学到的知识纵横联系、相互贯通，从而使头脑中的知识得到优化.
要经常运用所学知识，做到熟能生巧.一个人如果对所学的知识比较生疏，在应用时就会缺乏灵活性.反之，如果一个人通过训练对知识的各个方面都熟练掌握并紧密结合，达到比较深入的程度，则会使解决问题的思维更加流畅。

第二章培养仔细审题的习惯,提高对数学题的审读能力
第一节 培养学生认真审题的习惯
审题要注意看得准确，分得清楚，要多琢磨，细推敲。教师在讲解题目时要在培养学生的审题能力上下功夫,给学生以示例，引导学生要细心读题，题目长的可以回头看，要求学生保持对题目的较为深刻的印象，丢开原题要能基本复述，通过过电影似的回顾题目让学生搞清楚题目的要求是什么，给出了什么条件，有没有隐含的或可以进行转换以后使用的条件,有什么限制因素或是解题陷阱；解题首先要认真审题，弄清题目的两个组成部分。数学习题教学中应强调审题的重要性并要求学生养成认真审题的习惯一般来说，题目中的已知、未知条件比较复杂或者说不明显，审题时往往要考虑把题目的已知、未知化简，或者把问题转化为简单易解或已有典型解法的问题。如果题目没有明显给出条件，而且有隐蔽条件，那么就需要根据题外的已知定理、公式或条件去解决。指导学生善于去解剖一道题,以自己的方式理清和呈现一道题的各个部分、各种因素、各个方面、已知和未知等等,分清主次,抓住问题的突破口,对接好相关的知识点，通过对题目的深入研究盘点出解决问题的思路，从而把一道数学题解决好，使学生认识到审好题审对题是解好题的关键，养成认真审题的习惯，并逐步提高学生对数学题特别是繁和难数学问题的解读能力。个人收集整理,勿做商业用途文档为个人收集整理，来源于网络

第二节 训练学生审题过程的规范性
首先,要培养学生的观察能力，联想能力，语言转化能力以及直觉思维能力，以提高学生审题能力。
一般说来，规范的审题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分。
( 1) 条件与目标的分析.所谓条件的分析： 一是找出题目中明确告诉的已知条件， 二是发现题目的隐含条件并加以揭示。所谓目标的分析，主要是明确要求什么或要证明什么，把复杂的目标转化为简单的目标； 把抽象目标转化为具体的目标； 把不易把握的目标转化为可把握的目标。
(2)分析条件与目标的联系。每个数学问题都是由若干条件与目标组成的.解题者在阅读题目的基础上，需要找一找从条件到目标缺少些什么? 或从条件顺推，或从目标分析，或画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现解题的目标。
（3)确定解题思路.一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁。用哪些联系解题，需要根据这些联系所遵循的数学原理确定.解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配.有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示; 有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因.综上所述,我认为为适应当今高考需要，消除学生对数学科目的盲目恐惧心理,必须注重基础知识传授过程中,还应在习题分析过程中注重培养学生审题能力. 第三章 掌握数学思想方法 提高解题技能
第一节 中学数学中常用的数学细想
灵活应用数学思想方法是提高解题能力的关键，我们的先辈数学家们，已经为我们创造出了很多的数学思想方法，我们应该很好地体会它，理解它，并且要灵活地应用它.
一、 函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程（组)或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
例2 设不等式对满足的一切实数的取值都成立，求的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论。然而,若变换一个角度以为变量，即关于的一次不等式在上恒成立的问题。对此的研究，设)，则问题转化为求一次函数（或常数函数)f（m)的值在内恒为负值时参数应该满足的条件
解: 问题可变成关于的一次不等式在上恒成立,
设，则

解得 。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，可以使问题更明朗化。在含有参数的函数中，将函数自变量作为参数,而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题.

二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题，有时可研究其对应的几何性质使问题得以解决（以形助数)；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合.
例3 已知数列的通项公式为,求数列中的最大项。
解:
，其对称轴为,
所以当或时,取得最大值为

。

三、 分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，若不能对所论的若干对象进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答.
例4 已知，其中，函数的最小值为的函数，试计算当时的最大值。
解： 由配方得，其对称轴为。
当时，区间在对称轴的左侧,函数在处取得
最小值;
当时,在区间的内部，函数在处取得最小值；
当时，区间在对称轴的右侧，函数在处取得最小值;
综上所述可得:
当时，
当时，
当时，
又，所以
当时,求得的最大值为.

当时，恒为1；
当时，求得的最大值为10；
经比较可得，当时，的最大值为10.
四、化归与转化化归思想
化归与转化即等价转化，是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

例5 设，且，求的范围。
分析： 设,再代入消去,转化为关于的方程有实数解时求参数范围的问题。其中要注意隐含条件，即的范围。
解: 由,得。
设,则代入已知等式得：
即，其对称轴为，由得
所以的范围是：.

第二节 中学数学中常用的数学方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法"。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
。

二、 换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.
例6 方程,求。
解: 原式可化为，令,则有
,解得,即

求得。
例7 分解因式。
解: 直接分解比较困难，若将常数2011,2012分别用字母表示为分解简便易行。
原式等于：

三、因式分解法
    因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用.因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等.
例8 已知,求的值。
解 :本题运用因式分解法进行求解，
原式等于:

将已知条件带入得：
即。
四、待定系数法
待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决.待定系数法的主要理论依据是:
(1）多项式的充要条件是：对于任意一个值，都有;
（2）多项式的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等.
例9 分解因式。
思路：本体是关于的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.
解： 设

由恒等性质得：
解得：
所以。

五、判别式法与韦达定理
一元二次方程（属于，）根的判别,，不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组），解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用.
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用.
例10 已知关于的一元二次方程的两实根为，且
，求的值。
解:

，即
则有。即
解得：
当时，原方程为.此时。
方程无实根，与题想矛盾
故 。

六、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法.运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
例11 已知的平均数是4，的平均数是1，求的值。
分析：这道题目考了平均数的概念,根据题目特征构造二元一次方程组,从而解出的值,再求出的值.
解: 根据题意构造方程组:
解之得：
所以.

 七、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1)反设;(2)归谬；(3)结论。

   反设是反证法的基础.为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小)于/不大（小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.

  归谬是反证法的关键.导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾；自相矛盾.
例12 已知，求证:。
证明：（用反证法证明)
假设不都是正数，由可知，这三个数中必有两个位负数，一个为正数， 不妨设，则由可得
，又，。
.即

即，与已知条件相矛盾，则假设不成立
均为正数，即.

第四章 学生解题能力的培养
第一节 培养学生对所学知识融会贯通的意识，提高分析和解决数学问题的能力
在审清了题目的基础上，要让学生能顺当地联系对接到相关的知识，为此教学中要注重知识形成过程的教学，让学生通过观察、猜想、动手操作、合作探究、自我总结等的参与活动，主动获取知识，加深对知识的理解。在解数学题时善于寻找题目各个部分之间的关联，引起以往解题时形成的有关解题思路和方法的回忆，集题目的条件、所用的知识、正确的思路、恰当的方法于一体，形成本题的清晰的解答过程。对于数学中属于理论概念型的题目，应当在概念明确、推理合乎逻辑方面上下工夫;而技巧型的题目，则要求学生能灵活运用理论知识来解题.有的题目用某一基本理论就可以解决，有的题目则需要综合运用几个方面的理论知识才能解决，有的题目运用基本理论在特殊情况下的推论来解决更为简便，有的还要将已知条件作适当的变化后才能对接到相应的理论知识，因此在解题中，要让学生巩固和掌握有关知识,以使其能达到灵活运用的程度，从而提高解决数学问题的能力。

第二节 培养学生熟练的解题技巧
让学生解题时,要给学生提出解题的质量要求，也就是“准确、规范、快速”六个字。准确性就是要求做题争取“一次成功”,保证一定的正确率，克服随意性，减少以至于消灭粗心大意的现象，培养学生严谨的学风和负责任的态度.规范性就是要求解题要上“规矩”,注意书写格式规范，条理清晰可见，思路明了通畅，利于自己复查，便于他人评判,解题的规范性有助于培养学生熟练的解题技巧.快速性就是对学生解题的熟练技巧提出相应的要求，解题的效率要高，学生解题要全神贯注思维活跃才能达到快而准的要求.只有对学生的解题提出严要求、高标准，才能促进学生的学习,触动学生的灵感，学生的数学解题能力就会上一个新的台阶.
对学生还可以从以下几个具体的方面来提高解题能力:（1)一题多解和一题多思.让学生对一道题寻求几种不同的解法，不同解法的依据、思路、结论的对比能拓展学生的视野,拓宽学生的思路；对一道题还可进行变式拓展形成一组题甚而至于形成一类题，培养学生的发散思维，开拓学生的解题思路，使学生从解题中能有崭新的收获，有助于学生数学学习兴趣的培养；（2）比较归类，多题一解.让学生善于边解题边总结，“记”题型、“记”思想方法、“记”解题技巧、“记”注意点等，对做过的题目进行横向比较,找一找他们解题的共同点，形成体系，形成解题的定律，使得学生在做同类题时有规可循，从而提高学生的综合解题能力。
任何学问都包括知识和能力两个方面，就数学而言，能力比具体的知识要重要的多.当然，我们也不能过分强调能力，而忽视知识的学习,我们应当在学习一定成都知识的同时，还应该学会一些解决问题的能力.
能力是什么？心理学中是这样定义的：能力是指直接影响人的活动效率,使活动顺利完成的个性心理特征.在数学里，我认为，能力就是解决问题的才智。
第三节 培养学生机敏富有创造性的思维能力
在分析问题和解决问题的能力中， 发散式思维能力具有十分重要的意义.如果我们在教学中能恰当地引导学生从不同方向、不同角度、运用多种方法分析和解决问题， 就可以提高学生的思维素质， 从而培养具有创新精神的人才
创造性思维是一种具有新颖性和创造性的思维,而求异思维是培养创造性思维的一种重要手段，其主要特点有：独创性、多向性、灵活性和批判性.数学课程标准指出:“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。求异思维的多向性特征表现在思路宽广，善于多方探求，思维成发散式，因而也就不拘一格.教学中注意引导学生探求本质不同的多种解法，注意各分科之间的相互沟通和运用，引导学生对习题的结论或方法进行发散式思维，常能强化学生的求异思维的多向性特征。引导学生从“一题多法"中培养其发散思维能力.很多题目是可以有多种解法的， 而学生想出的某种解法往往是凭一种偶然的联想， 教师应引导学生换一个角度去思考问题, 寻找第二种、第三种解法。当学生的思维发散开后， 就有可能从多种解法中找到一种最佳的解题途径。这样经过长期的有目的的训练，就可以培养学生的灵活性和创造性.
例1 化简.按常规说，学生一般会运用分母有理化来化简，但是若仔细观察，就会发现可以变成,能用平方差公式分解因式，解此题就容易多了.
解: 原式就可以化为
进而得到
故解得 。

第五章 培养反思习惯，提高解题能力

反思是提高学生数学解题能力的重要方式，也是整个数学学习过程的重要环节。培养学生解题反思能力是一个“疑问——示范—-训练-—反思”的过程,通过这样一个过程，它能够使学生逐渐改变对数学的错误认识,也能够提高学生对学习数学的兴趣.而且，反思能力的提高对激发学生学习数学的主动性和创造性都是极其有帮助的。创设反思情境,增强学生解题体验.在课堂教学中，教师不仅是知识的授予者,还应该是学生学习的促进者.因此,教师在教学过程中要积极创设一些问题反思的情境，从而活跃学生的反思活动.同时，教师还需要根据学生的实际情况设计适宜的问题情境以促进学生进行反思，因为设计的问题太难或者太易都会无法让学生的反思取得良好的效果。此外，教师还要构建一个和谐、信任、民主的课堂师生关系,让学生能在一个轻松的氛围中进行反思活动，这也更有利于学生发现学习中的问题.

一、充分发挥教师的引导作用
培养学生反思能力的一个重要方面就是要发挥好教师的引导作用.
1、 做一个反思型的教师
即教师自己在教学过程中应该要有强烈的反思意识和反思能力,只有这样教师才能将解题反思的意识更好地带到教学过程中，使学生在潜移默化中受到影响和熏陶，从而逐渐形成解题反思的意识，这本身也是教师去引导和培养学生解题反思能力的基础和前提.
2、 创设反思情境增强学生解题体验
在课堂教学中,教师不仅是知识的授予者，还应该是学生学习的促进者。因此,教师在教学过程中要积极创设一些问题反思的情境，从而活跃学生的反思活动,同时，，教师还要构建一个和谐、信任、民主的课堂师生关系,让学生能在一个轻松的氛围中进行反思活动，这也更有利于学生发现学习中的问题.

二、加强学生学习的主动性
学生反思能力的提高，除了发挥教师引导作用外,还需要学生自己加强学习的主动性和积极性，学生学习的主动性是整个解题反思过程的核心，也是提高学生解题反思过程效果和质量的关键.然而在现实的教学过程中，由于受教师的观念、教学方法和教材内容呈现方式等多方面的影响，学生普遍对数学学习的兴趣普遍偏低，认为数学知识内容是枯燥、乏味的，从而造成他们对学习数学的主动性不强，这些都严重影响着学生学习数学的效果和质量。
1、善于在反思中概括总结，经常在反思中进行概括总结是学生形成解题反思意识的重要方式，对构建学生良好的数学认知结构也非常有效，而良好的数学认知结构是提高学生数学解题能力的有力保证.
2、在反思中力求举一反三.学生进行解题的目的，不仅仅是为了获取正确的答案，而是通过解题能够使自己对某一数学知识进行强化和巩固。举一反三的解题过程是一个更高层次的学习过程，它能使学生对某一数学知识能够有更深、更广的认识,也有利于学生对相关数学知识的巩固和加深，这样学生的解题反思能力也会越来越强。
致谢
本课题在选题及研究过程中得到了王琪老师的悉心指导。本论文从选题到完成,每一步打偶是在王琪老师的指导下完成的，倾注了其大量的心血，感谢王琪老师对我的教育和培养及他细心的指导与不懈的支持。在此谨向王琪老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。同时，我还要感谢在一起愉快度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个个的困难。最后感谢所有在这次毕业设计中给予过我帮助的人。对上述朋友，再一次真诚地表示感谢。

参考文献
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