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高中理科椭圆典型例题.doc
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1、典型例题一例1 椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解:(1)当为长轴端点时,椭圆的标准方程为:;(2)当为短轴端点时,椭圆的标准方程为:;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解: ,说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求,求,再求比二是列含和的齐次方程,再化含的方程,解方程即可典型例题三例3 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长
2、为2,求椭圆的方程解:由题意,设椭圆方程为,由,得,为所求说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例4椭圆上不同三点,与焦点的距离成等差数列(1)求证;(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率证明:(1)由椭圆方程知,由圆锥曲线的统一定义知:, 同理 ,且, ,即 (2)因为线段的中点为,所以它的垂直平分线方程为 又点在轴上,设其坐标为,代入上式,得 又点,都在椭圆上, 将此式代入,并利用的结论得 典型例题五例5 已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中
3、项?若存在,则求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:假设存在,设,由已知条件得,左准线的方程是,又由焦半径公式知:,整理得解之得或 另一方面 则与矛盾,所以满足条件的点不存在说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果,再作判断(3)本例也可设存在,推出矛盾结论(读者自己完成)典型例题六例6 已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为代入椭圆方程,并整理得由韦达定理得是弦中点,故得所
4、以所求直线方程为分析二:设弦两端坐标为、,列关于、的方程组,从而求斜率:解法二:设过的直线与椭圆交于、,则由题意得得 将、代入得,即直线的斜率为所求直线方程为说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点;(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如
5、(1)题中由求出,在得方程后,不能依此写出另一方程解:(1)设椭圆的标准方程为或由已知 又过点,因此有或 由、,得,或,故所求的方程为或(2)设方程为由已知,所以故所求方程为说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程或典型例题八例8 椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标分析:本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而得最小值一般地,求均可用此法解:由已知:,所以,右准线过作,垂足为,交椭圆于,故显然的最小值为,即为所求点,因此,且在椭圆上故所以说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理事实上,如图,即是
6、到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使到的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到直线的距离为当时,说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求的最大值时,要注意讨论的取值范围此题可以
7、用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是,其中待定由可得,即设椭圆上的点到点的距离是,则 其中如果,则当时,(从而)有最大值由题设得,由此得,与矛盾因此必有成立,于是当时,(从而)有最大值由题设得,可得,所求椭圆方程是由及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点,点到点的距离是解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中,待定,为参数由可得,即设椭圆上的点到点的距离为,则 如果,即,则当时,(从而)有最大值由题设得,由此得,与矛盾,因此必有成立于是当时(从而)
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