文科十推理与证明.doc

第十三章 推理与证明
第一节合情推理与演绎推理
题型169 归纳推理
例题13.1设函数f（x）＝，观察：，

根据以上事实，由归纳推理可得：当＿＿＿．
14、
例题13.2定义表示所有满足的集合组成的有序集合对的个数．试探究，并归纳推得=_________.
16．．
例题13.3如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则 .

15．1005
例题13.4已知函数 ,
若数列{am}满足,且的前项和为,则= .
15.8042
例题13.5意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是___3_____
15、【KS5U答案】 3
解析：写出前几项数列的数，可以找出规律。
例题13.6观察下列等式：
；
；
；
；
可以猜想出结论：
训练题1[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
8． B　
训练题2[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
16．201　
训练题3[2014·陕西卷] 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．
14.　
训练题4[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
15．6　[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.
训练题5[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
14．A　
训练题6[2014·陕西卷] 观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
14．F＋V－E＝2　
训练题7向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为，下列论断正确的是
A．随着的增大，增大 B．随着的增大，减小
C．随着的增大，先增大后减小 D．随着的增大，先减小后增大
4．A
训练题8个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑
9.B
训练题9

答案：
题型170 类比推理
例题13.7观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于， ．
答案
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，
二项指数分别为，因此对于，

例题13.8（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以36的所有正约数之和为参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________
【答案】4836
例题13.9将函数的图象绕原点顺时针旋转后可得到双曲线．据此类推得函数的图象的焦距为 ．
15. 8
例题13.10在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：
15．为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足
且
例题13.11已知命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆上，则（其中为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在双曲线上，则 ．

例题13.12设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有__________________________．
例题13.13在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得

…

相加，得
类比上述方法，请你计算“”，
其结果为 ．
16、　
例题13.14设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S 1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝ .
15.
训练题1若 成等差数列，则有等式 成立，类比上述性质，相应地：若 成等比数列，则有等式__ _成立。
训练题2已知中令就可以求出常数，即.
请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题
若，即，则=
15.解：对
两边求导： 令x=0得：
再两边求导： 令x=0得：
再两边求导： 令x=0得：
…
猜想：
所以，所以
训练题3先阅读下面的材料：“求的值时，采用了如下方法：
令，则有，两边同时平方，得，解得（负值舍去）．”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数的零点为________．
15．．
*15.解析：令，则．若，则，…，；反过来，若满足，由于在上单调递增，由反证法可知，必有．综上可知，方程与同解，得（负值舍去）．
训练题4已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.

训练题5我们知道无限循环小数，现探究。设，由可知，即，从而。则类比上述探究过程，用分数形式表示 15、
训练题6数学家科拉茨在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，若它是偶数，则将它减半（即），若它是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1 。如初始正整数为，按照上述规则，我们得到一个数列：6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 。根据此猜想，如果对于正整数（首项），经过变换（注：1 可以多次出现）后的第8项为 1 ，则的所有可能的值为
16、
第二节证明
题型171 综合法与分析法证明
例题13.14

例题13.15

题型172 反证法证明
例题13.16

其它训练题
训练题1如图1，在△OAB中，M是AB边上的点，则＝＋，类比到空间向量，如图2，在四面体OABC中，M是△ABC内一点，那么下列结论正确的是 （ D ）

A. ＝＋＋
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
（其中d1、d2、d3分别表示M到BC、CA、AB的距离）
D. ＝＋＋
训练题2若为的各位数字之和，如，则记则= 5
训练题3在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，
记表示取出的次品数，算得如下一组期望值：
当n=1时， ;
当n=2时， ;
当n=3时， ;
……
观察以上结果，可以推测：若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则= ．
训练题4已知a＜b，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有　③　．（填上所有错误步骤的序号）
∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①
∴2a﹣2b＜b+a﹣2b，即2（a﹣b）＜a﹣b，…②
∴2（a﹣b）•（a﹣b）＜（a﹣b）•（a﹣b），即2（a﹣b）2＜（a﹣b）2，…③
∵（a﹣b）2＞0，∴可证得 2＜1．…④
训练题5对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第„步,所得图形的面积.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则
(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =_ _____. (II)到第n步时，所得几何体的体积Vn =___ ___.
训练题6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为
训练题7在行列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时， 45 。
解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
训练题8设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。
现给出如下映射：
①
②
③
其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）
【答案】①③
训练题9观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【答案】D
训练题10设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的
B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
训练题11在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，
下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【答案】①，③，⑤
训练题12设函数,观察:

根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
【答案】
训练题13观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 。
【答案】
训练题14观察下列各式：则
A．28 B．76 C．123 D．199
【答案】C
【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即，所以可推出，选C.
训练题15正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12(D)10
【答案】B
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.
训练题16我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是
11. B． C． D．
【答案】D
【解析】

训练题17观察下列不等式

，

……
照此规律，第五个不等式为 .
【答案】.
【解析】通过观察易知第五个不等式为.
训练题18设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）当N=16时,
,可设为,
,即为,
,即, x7位于P2中的第6个位置,；
（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.
训练题19回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）位回文数有 个．
【答案】90，
【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.
法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为.
训练题20某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】

训练题21若（），则在中，正数的个数是（ ）
A、16 B、72 C、86 D、100
【答案】C
【解析】由题意可知，===…==0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数。
训练题22观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为
A.76 B.80 C.86 D.92
【答案】B
【解析】个数为首项为4，公差为4的等差数列，所以，，选B.
训练题23观察下列不等式

，

……
照此规律，第五个不等式为 .
【答案】.
【解析】通过观察易知第五个不等式为.
训练题24传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；
（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）
【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.
从而由上述规律可猜想：（为正整数），
，
故,即是数列中的第5030项.
【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
训练题25定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值为 。

训练题26

训练题27对于定义域和值域均为的函数，定义，，……
，，满足的点称为的阶周期点. 设
则的阶周期点得个数是 （ ）

12.C
训练题28 有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是 ▲ ．
16. 1051
训练题29设表示不超过实数的最大整数，则在坐标平面上，满足的点所形成的图形的面积为__________. 16. 8