线性代数知识总结.doc
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1、1、行列式1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;2. 代数余子式的性质:、和的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;3. 代数余子式和余子式的关系:4. 设行列式:将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;5. 行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积;、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;、和:副对角元素的乘积;、拉普拉斯展开式:、范
2、德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;7. 证明的方法:、;、反证法;、构造齐次方程组,证明其有非零解;、利用秩,证明;、证明0是其特征值;2、矩阵1. 是阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;2. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;3.4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:若,则:、;、;、
3、;(主对角分块)、;(副对角分块)、;(拉普拉斯)、;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;2. 行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非0元素必须为1;、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、 若,则可逆,且;、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;4. 初等矩阵和对角矩阵的
4、概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; 、对调两行或两列,符号,且,例如:;、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;、倍加某行或某列,符号,且,如:;5. 矩阵秩的基本性质:、;、;、若,则;、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、;()、;()、;()、如果是矩阵,是矩阵,且,则:()、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);、若、均为阶方阵,则;6. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如的矩阵:利用二项展开式;二项展开
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