2022-2023学年江苏省南通港闸区五校联考数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则的长是( )

A．π B． C． D．
4．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（ ）

A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
5．如图，的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则的面积为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
6．一组数据3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）

A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
8．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移3个长度单位得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x+2）2﹣2
10．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为__________.

12．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．

13．已知扇形的面积为4π，半径为6，则此扇形的圆心角为_____度．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝____°．

15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以原点为位似中心，把线段放大，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________．

16．如图，已知中，点、、分别是边、、上的点，且，，且，若，那么__________

17．如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．

18．抛物线的顶点坐标是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

20．（6分）如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
（1）求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明AC与⊙O相切．

22．（8分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
 （3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

23．（8分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
24．（8分）某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶1．设BG的长为1x米．

（1）用含x的代数式表示DF＝ ；
（1）x为何值时，区域③的面积为180平方米；
（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA＝2OB＝1．求抛物线的顶点坐标．

26．（10分）先化简，再求值：，其中x＝1．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先根据抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，

∵顶点坐标为
∴抛物线的表达式为
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．
2、D
【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．

根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=，
∴tanB′=tanB=．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
3、B
【解析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OB，OC．

∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴的长＝，
故选B．
【点睛】
考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
4、C
【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的， 观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
【点睛】
本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
5、D
【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，​可得SADE=1．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴SADE：S△ABC=1：4
∵△ABC的面积为12
∴SADE=1.
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.
6、A
【分析】根据极差的定义进行计算即可.
【详解】这组数据的极差为：4－(－1)=5.
故选A.
【点睛】
本题考查极差，掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差，是解题的关键.
7、B
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查轴对称和中心对称，会判断轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
8、A
【解析】试题解析：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
9、B
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2+1．
再向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
10、D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解此题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先求出第一个正方形ABCD的边长，再利用△OAD∽△BA1A求出第一个正方形的边长，再求第三个正方形边长，得出规律可求出第5个正方形的边长.
【详解】∵点的坐标为，点的坐标为
∴OA=3，OD=4，
∴
∵∠DAB=90°
∴∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵∠DAO+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BAA1
∴△OAD∽△BA1A
∴即
∴
∴
同理可求得
得出规律，第n个正方形的边长为
∴第5个正方形的边长为.
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，此题的关键是根据计算的结果得出规律.
12、6.4
【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题.
【详解】解：由题可知：,
解得：树高=6.4米.
【点睛】
本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键.
13、1
【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则由此构建方程即可得出答案．
【详解】解：设该扇形的圆心角度数为n°，
∵扇形的面积为4π，半径为6，
∴4π＝，
解得：n＝1．
∴该扇形的圆心角度数为：1°．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键．
14、46°
【分析】连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠DCB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠DCB=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°

【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
15、
【分析】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出，从而求出点的坐标．
【详解】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△
∴
即
解得：
∴点的坐标为（4,2）
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．
16、
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE：EC=AD：DB=1：2，BF：FC=AE：EC=1：2，进行分析计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC=AD：DB=1：2，
∵EF∥AB，
∴BF：FC=AE：EC=1：2，
∵CF=9，
∴BF=.
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用定理并找准对应关系是解题的关键．
17、
【详解】依题意连接OC则P在OC上，连接PF,PE则PF⊥OA,PE⊥OB,由切线长定理可知四边形OEPF为正方形，且其边长即⊙P的半径（设⊙P的半径为r）
∴OP=
又OC=OP+PC=+r=(1+)r即扇形OAB的(1+)r,
∴
18、（0，-3）.
【解析】试题解析：二次函数，

对称轴
当时，
顶点坐标为：
故答案为：

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）① ；②
【分析】（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，
∵抛物线经过A、B两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为：．
(2)① ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，

当时，△DPQ的面积最小.最小值为．
② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．
三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当时，根据勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；
当时,同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值为：,,,,．

【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
20、大树的高度为(9+3)米
【分析】根据矩形性质得出，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
【详解】解:如图,过点D作DG⊥BC于G,DH⊥CE于H,
则四边形DHCG为矩形.
故DG=CH,CG=DH,在中,∵∠DAH=30°,AD=6米,
∴DH=3米,AH=3米,
∴CG=3米,
设BC米,
在中，∠BAC=45°,∴AC米,
∴DG=(3+)米,BG=()米,
在中,
∵BG=DG·tan 30°,
∴(3)×,
解得:9+3,
∴BC=(9+3)米.
答:大树的高度为(9+3)米.

【点睛】
本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
21、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BD的垂直平分线交AB于O，再以O点为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）证明OD∥BC得到∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）证明：连接OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠ACB，
又∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵点D是半径OD的外端点，
∴AC与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
22、（1）48000 m3（2）V= （3）8000 m3
【解析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=，再把点（12，4000）代入即可求出答案；
（2）此题根据点（12，4000）在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；
（3）此题须把t=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；
【详解】（1）设V=．
∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴蓄水量为12×4000=48000m3；
（2）∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴4000=，
k=48000，
∴此函数的解析式V=；
（3）∵当t=6时，V==8000m3；
∴每小时的排水量应该是8000m3.
【点睛】
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
23、（1）；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．
（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率，即可进行判断．
【详解】解：方法一：（1）由题意画出树状图

所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，
，
因为，所以不公平；
方法二：（1）由题意列表
小林
小华
1
2
3
1

2

3

所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，
，
因为，所以不公平．
【点睛】
本题主要考查了游戏公平性的判断、用画树状图或列表的方法解决概率问题；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24、（1）48－11x；（1）x为1或3；（3）x为1时，区域③的面积最大，为140平方米
【分析】（1）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以1可得DF的长度；
（1）将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；
（3）令区域③的面积为S，得出x关于S的表达式，得到关于S的二次函数，求出二次函数在x取值范围内的最大值即可.
【详解】（1）48－11x
（1）根据题意，得5x(48－11x)＝180，
解得x1＝1，x1＝3
答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米
（3）设区域③的面积为S，则S＝5x(48－11x)＝－60x1＋140x＝－60(x－1)1＋140
∵－60＜0，∴当x＝1时，S有最大值，最大值为140
答：x为1时，区域③的面积最大，为140平方米
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式.
25、 (﹣1，9)
【分析】先写出A、B点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵OA＝2OB＝1，
∴B（2，0），A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），
即y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣（x+1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，解决本题的关键是正确理解题意，能够将二次函数一般式转化为交点式.
26、，．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.