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类比法在中学数学中的应用

摘要：类 比法是数 学发 现中最常 用、最有 效的方 法之一，同时也是数 学解 题中非常实 用的一种方 法.类 比法也称 做“类 比推 理法”，是一种合 情推 理的思维方法.当遇到相对复杂的题目，我们可以先考虑与之相类似的简单的题目，从而寻找到适合的方法或规律解决复杂的问题.类比法无论是在知识的探索还是解决实际问题，都具有启发思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用.在中学数学中，应用到类比法的知识多种多样，而我着重写的是在解题方面，一些经常出现的、常见的类比，如一般与特殊的类比、高维与低维的类比、平面与空间的类比、方法的推广类比以及类比的局限性等.

II

Analogism in middle school mathematics application

Abstract: The analogism is in mathematics discovery is most commonly used, one of most effective methods, simultaneously also is in mathematics problem solving the extremely practical one method. The analogism also name makes “the analogy line or method of reasoning”, is one kind gathers the sentiment inference the thought method. When meets the relatively complex topic, we may consider first with it similar simple topic, thus seeks to the suitable method or the rule solution complex question. Regardless of the analogism is solves the actual problem in the knowledge exploration, all has the inspiration mentality, provides the function which the clue, extrapolates, understands by analogy. In the middle school mathematics, applies the analogism the knowledge many and varied, but I write am emphatically in the problem solving aspect, some appear, the common analogy frequently, like general and the special analogy, high dimension and low dimensional analogy, the plane and the spatial analogy, the method promotion analogies as well as analogies limitedly and so on.

Keywords: Analogism;Gathers the sentiment inference; Mathematics; Application

19

类比法在中学数学中的应用
据说“锯子”是鲁班发明的.当鲁班正在为创造一种新的伐木工具而感到困惑的时候，不小心手指被一根细毛草叶划了一下，划破了一个深深的口子. 心想：“怎么一根小小的毛草叶能把我的手划得这么深”.于是他仔细的观察了毛草叶，发现叶子的边缘生长着许多锋利的小齿，由此鲁班联想到用铁片打制一把像毛草叶一样的工具——锯子.
这里鲁班所用的思想就是类比，他由被毛草叶划破手指后想到用像叶子一样的工具来锯木头，非常聪明的思考，灵活的运用类比，制造出了锯子.
波利亚曾经说过：“类 比是一个伟 大的引路人.”开普 勒也说过：“我珍 视类 比胜过任 何别的东 西，它是我最信 赖的老 师，它能揭 示自 然界的秘 密，在几 何学中它是最不容意忽 视的.”然而拉普 拉斯也说过：“甚 至在数 学里发 现真 理的主要工 具是归 纳和类 比.”康德也同样说过：“每 当智 力缺 乏可 靠论证思 路时，相 似思 考往往能指 引我们前 进”.“相似思考”指的就是类比.从古人对类比评价的价值和意义，能深切地感受到通过类比可以发现新的知识，探索新的科学领域，类比起着重要作用.同样，把类比的方法运用到中学数学解题当中，可以帮助我们发现解题的思路、方法和途径，从而提高解决问题的能力.
1 类比法的含义
类比法是将两个或两类事物的某些相同或相似属性进行比较的方法，类比推理是从特殊到特殊的一种推理.类比法简称类比，它是基于两个或两类事物或对象的某些属性相同或相似，然后猜测它们其它的属性也是相同或相似.它的逻辑形式是：
具有性质
具有性质其中与 相同或相似；
则推测出也具有性质，相同或相似[1].
类比推理法和不完全归纳法差不多，是一种似真推理，前提真而结论未必就真.要想提升类比出的结论的可靠程度，就要尽量地确认对象之间的相同点.相同点越多，对结论的可靠性就越高.因为对象间的相同点越多，二者的关联度就会越大，如果两类事物的相同或相似的属性越多，则通过类比得到的结论也就越可靠.反之，结论的可靠性程度就会越小.
要想很好地掌握类比法，首先要善于观察事物的特点，从对不同事物的关注和研究中发现它们的相似性，并寻找到造成这种相似的原因；其次，要善于联想，从事物的彼此联系中来考虑问题，从一个事物或关系遐想到它们性质相同或相似的其他事物，从一种方式方法联想到其它作用类似的各种方式方法；从一个概念、定理联想到与这个概念、定理关系密切的一类概念、定理. 解决一个问题，我们都应联想到是否有其相类似的问题，回想各种有关的知识和经验，往往能使我们提高分析和解决实际问题的能力.
显然，类比法属于合情推理，它的结论正确与否需要经过严格的演绎证明.
2 类比法的作用
类比法的作用是“由此及彼”.假如把“此”看作是前提条件，“彼”看作是推论，那么类比的思维过程便是一个合情推理过程.古典的类比法认为，假如我们在类比过程当中发现被类比的对象有越来越多的共同点，而且了解其中一个对象有某种情形而另一个对象尚未发现这个情形，这时人们的思维就有理由进行类比，因此猜测另一对象也应该有此情况.当代类比法认为，类比之所以可以“由此及彼”,之间通过了一个归结和演绎流程，即：从已知的对象具有某些属性，经过归纳得出另外的对象也具有这些属性.当代类比法就是“类推”.
2.1 类比法是科学发现、发明的重要方法之一
类比法是提出新问题和做出新发现的一种重要方法，是扩大知识范围、获得新知识的重要手段.
数学发展史上，应用类比法使数学得到创新发展的例子很多，诸如欧拉解决自然数倒数平方和就是一个非常好的例子；罗巴切夫斯基在对欧氏几何中的第五公设的研究时，类比联想出来了罗氏公理：“在平面上，过一条直线外的一点，可以画两条不同的平行线.”黎曼也通过对欧氏几何中的第五公设的研究，类比出了自己的黎氏公理：“同一平面上的任何两条直线一定相交；直线可以无限延长，但总长度是有限制的.”他们同样对欧氏几何中的第五公设类比研究，分别得到了罗氏几何与黎氏几何.
在数学的创造性活动中，徐利治教授不仅充分肯定了归纳和类比的作用，而且还指出，在创造性的科研活动中，常用下列方法和步骤：
推广
归纳
实验

形成普遍命题
从具体问题具体素材出发

证明

预见
联想
类比

在数学的学习当中，通过类比可以得到一些新的结论.
例1 由“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比到“正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值”.
2.2 类比法是系统掌握知识的有效方法
通过类比可以系统掌握新知识，同时巩固旧知识，并且可以使新旧知识融会贯通.代数中分式类比分数，从而推出分式具有与分数相似的性质，分式可以和分数一样，进行化简和运算.这样把分数与分式统一起来，类比记忆. 在几何中更是如此，空间几何类比平面几何，其中部分结论的对照见表三.
例2[2] （1）长方形与长方体的类比关系见表一：
表一
长方形
长方体
每相邻两边互相垂直
对边互相平行且相等
对角线相等且互相平分
对角线的平方等于长和宽的平方和
面积等于两邻边的乘积
每相邻两棱互相垂直，每相邻两面互相垂直
对棱互相平行且相等
对角线相等且相互平分
对角线的平方等于长、宽、高的平方和
体积等于长、宽、高的乘积
（2）圆与球的类比见表二：
表二
平面中的圆
空间中的球
圆的切线
圆的弦
圆周长
圆面积
球的切面
球的截面圆
球的表面积
球的体积
（3） 平面与空间的部分类比结论见表三：
表三
平面
空间
直线方程的一般形式：

平面方程的一般形式：

平行于同一条直线的两条直线相互平行
平行于同一个平面的两个平面相互平行
两条直线被三条平行线所截，对应截线段成比例
两条直线被三个平行平面所截，对应截线段成比例
直线与平行的充要条件是
平面与
平行的充要条件是
角平分线上任意一点到角的两边等距，到角两边等距的点在角平分线上.
二面角平分面上任意一点到角的两半平面等距，到二面角两半平面等距的点在角平分面上.
三角形的任意两条边的和始终要大于第三条边.
四面体的任意三个面的面积之和始终大于第四个面的面积.
一般来说，平面与空间之间的类比是不确定的，经常是模糊的，但由于其多样性，这样的类比就成为几何学提出新问题和获得新发现的源泉.
无论是在教学还是解题时，有意识的引导学生注意有关知识之间的类比关系，从旧知识的基础上“发现”新知识，将会提高学生的学习兴趣，取得良好的学习效果.知识之间的类比，方法之间的类比，有利于扩展学生的思维，培养学生进行类比的能力，从而提高学生的学习兴趣.
3 中学数学解题中常见的类比应用
在数学解题过程中类比法具有启发思绪、提供线索、抛砖引玉、闻一知十的作用.当我们解决一个相对陌生或复杂的问题时，往往可以找到一个更熟悉的或简单的问题作为类比对象 .有的时候，类比对象的解决途径和方法可以为原问题提供某种解决的途径或模式；有的时候类比对象的解决途径和方法直接就是原问题的解决途径和方法.因此通过类比对象的解决途径和方法的分析研究，往往能获得原问题的解决途径和方法.应用类比法来指导解题，关键在于找到一个很合适的类比对象.一般而言，我们可以依据问题的不同特征，从题型结构、图形特点、相关性质、解题方式等方面进行类比，将不熟悉或比较复杂的问题转化为熟悉或比较简单的问题，达到正确简捷解题的目的.
3.1特殊与一般的类比
一个一般问题的研究，它往往比较复杂，不容易解决，这可以先探讨和解决一个比较简单的例子，然后用解决简单问题时所用的方法或所得到的结论来解决原来的一般性问题，像这样的类比就是特殊与一般的类比.
例3[3] 如图1，设为的角平分线，且点共线，则：
.

图1 图2

分析：此题直接证明等式不太好证明，我们先退到简单的类似问题，
证明 如当时
,
显然有
.
当=2时：如图2，延长、交三角形的外接圆与、，连接、，则：
， ，
， ，
.
，，
， .
从而
，
，，
.
我们回到一般的情形，=2时证明
，
类比以上方法可以证明
，
并且的情形也适用于
，
所以

回顾：在这里我用到的类比思想就是将一般情形与特殊的情形相类比，当然还有其他的思想在里面，由于特殊的情形解决起来比较容易，从中可以得到一些方法，这些方法有的具有实质意义，可以推广到一般的情形，从而使一般的问题得以解决.
3.2 高维与低维的类比
我们通常把直线看作是一维空间，平面是二维空间，立体几何中的空间是三维的空间，除了这些，“维数”还可以泛指未知数的个数、变量的个数、方程的次数等. 当我们遇到高维数时，一般情况下都会想到低维的情况，在低维中我们用的方法就会带到高维中去，然后将高维转化为低维的问题，进而解决问题，这样将高维与低维进行比较的方法有时又称为降维.
3.2.1 三次与二次的类比
一般情况下，如果我们遇到三次及其多次的问题时，直接解题很不容易，这个时候，我们很可能想到二次的情况，那么我们能不能用解决二次问题的方法来解答三次甚至多次呢？我们不妨可以试一试.
例4 试推导一元三次方程根与系数的关系.
我们首先利用待定系数发推到一元二次方程根与系数的关系.设的两个根是 ，则有：
.
将两端展开，比较同次项系数得：
，.
由此启发我们可以用类比的方法来推一元三次方程根与系数的关系.
设一元三次方程为的三个根分别为，则有：

比较等式两边的同次项系数得：

回顾：像这样，对于三次的方程我们类比二次的解法来解决就容易多了，通过一元三次与一元二次的类比，推导出一元三次方程根与系数的关系，从而解决问题.对于这个题能不能推广至一元次方程根与系数的关系呢？
分析：设次多项式：

的个根为则有：

将上式右端展开、整理，并比较等式两端同次项系数得：

回顾：通过一元三次与一元二次的类比，推导出一元三次方程根与系数的关系，由此推广至一元次方程根与系数的关系.这是高次与低次类比解决问题的典型例子.
3.2.2 三元与二元的类比
由例4 可得到次数可以类比，那么对于元应该是可以类比的，同样的道理，多元不容易解决，当然元越少越好解决.遇到多元可以先把它转化为二元甚至是一元，或者是先对简单的例子来类比解答.
例5[4] 在实数集内，解方程组：

分析：在这个三元三次方程组里，我们直接解方程不容易解出来，可能过去没有遇见过，但是我们仔细观察这个方程组可以发现方程①，②，③的左边是关于未知数都具有齐次、对称的特点，从而想到我们熟悉且与所给问题类似的二元二次方程组：

由得：

即

求得方程组唯一解为
通过类比以上情况由得：

即：

因此求得原方程组有唯一解：

回顾：在这个题中，通过降低未知数的次数，同时也减少未知数的个数，即可解出方程的解，对于第③个条件没有直接影响，可以推广至结果也是一样的.
进一步推广：在实数集内，解方程组：

⑥

解 令函数：

则

因为

所以

因此中至少有一个为，又由方程的对称性可知，原方程组的解为：

例6 已知 0，求证.
分析：对于该问题，容易想到的是把三元不等式与二元不等式进行类比，即，若0，证，由于对称. 不妨设 欲证，只需证，即证 而，就可以得到.
这个证法的关键是将不等式变形为相关字母比值的相关幂不小于1的形式，显然可以类比，不过要注意三元对称和二元对称之间的差异.
不妨设，欲证，只需证即证，而这只需证 ，，即可，根据前面的讨论，这显然是证确的.
回顾：以上例子如果我们直接解题比较难解，然而通过降维，问题就简单多了，解决起来也就容易了很多.
例7 已知比较与的大小.
解 先确定与的大小，
，
，
，
，
即
.
进一步比较与的大小.
由上面结论知道：

.
即
.
在进一步推出与的大小，

.
回顾：虽然这题是四元的，但是我们先从简单的入手，这样就轻轻松松的把问题解决了.像这样的问题可以进行推广至元的情况，推广如下：.
推广：设，比较与的大小.
由例7的解答过程可以得到启发，可以用数学归纳法证明

3.2.3 平面与空间的类比
如前面所言，平面与空间的类比是多样性的，空间中的很多定理可视为平面几何相应定理的推广，在解题中也是如此，平面几何理用到的思维、方法，有时对于空间中的问题同样适用.
例8[1] 是四面体内任意一点，连接，，，并延长交面于，则有：
.
分析：对于这个问题，我们可以联想到是三角形内任意一点，连接，并延长交对边于则有：
，
对于这样的题目用面积法来求解，四面体的问题类比用体积法来求解，类比见表四：
表四

问题

是三角形内任意一点，连接并延长交对边于，，则有：
,
是四面体内任意一点，连接
并延长交面于，，则有：
.

图形

分析
(1) 分别过作的垂线，则，.

(2) 由相似三角形的性质得:
.
(3) 由三角形面积公式得：
.
(4) 同理可得：
.
(5) 因此：

(1)分别过作面的垂线，则有，由于共线，所以共线，其连接起来，则有.

(2)由相似三角形的性质得:
.
(3)由四面体体积公式得：
.
(4) 同理可得：

（5）因此：

回顾：比较这两个问题可以发现，它们无论是题目条件，还是题目的结论，都十分相似，由此，才使我们联想到解法的类似，这样在空间里面遇到的问题，我们就可以类比平面中用到方法，当然，平面中的问题相对于空间里的问题要相对简单些，运用类比就可以把平面与空间连接起来.这样平面的结论在空间中同样成立.例1也有此证明.
3.3方法的类比推广
方法的推广是最常见类比.一种方法、一种思维可以解决很多相同或相似的问题，在心理学中称之为“迁移”.这样我们会一个题，就应该会解决一类问题，从题海中解放出来，寻找方法进行归类，从而达到一种方法多用、一题多解、会举一反三的效果.
图 3
例9[5] 如图3所示，一直线与四边形的四边，，，或延长线分别相交与点则：
.
分析：条件与梅涅劳斯定理类似，由此类比，将梅涅劳斯的定理应用在本题上.
解 连接与直线交与点，在三角形中，有梅捏劳斯定理得：
, ⑦
同理：在三角形中有：
, ⑧
由⑦×⑧得：
.
回顾：本题充分利用了已知的结论或知识进行对比，得到简洁快速的解答方案.
例10 在等差数列中，若，则有等式:
成立，是正整数.类比以上情况，如果等比数列中，若，则有等式： 成立.
分析:这 个 题 主 要 是 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 类 比 .
等差数列 减法定义 性质是加法表述（如果并且
则）；
等比数列 除法定义 性质是乘法表述（如果并且
则）.
由此猜测本题的答案应为： .
对等差数列，如果，则，所以有：
从 而 对 等 比 数 列 ，如果，同理，从而：

故有等式：成立.
回顾：这是一道含有技巧的妙题，主要测试观察分析能力，抽象能力，测试运用类比的思想方法从等差数列的相关性质类比得到等比数列的相关性质.
例11 若记号“*”表示两个实数与的算术平均的运算，即.那么等号两边都含有运算符号“*”和“＋”，而且对于任意的3个实数，，都能成立的一个等式可以是： .
分析 这是一个含有探索性和开放性的问题，通过探索来解决这个问题，并且答案不惟一.解这个题的关键是要把分析，并且应该它不仅是类比推广到三个数，而且等式两边都要含有运算符号“*”和“＋”，因此很可容易得到：，
观察右边含有，则：
.
故可以得到：
.
同理也可以是：
.
或者是：
.
回顾：对于这样的新运算，我们拿到题目后，首先就是理清楚题意，由题目含义出发，类比此运算，并进行推广.
例12 如果定义一个“等和数列”，即：在列数当中，如果它的前一项与后一项的和都为同一个常数，那么这样数列就叫做等和数列，这个常数就叫做这个数列的公和.已知数列为等和数列，并且，公和是5.则的值是_______________，前项和的计算公式是_______________.
分析 由题目所给的定义，结合我们熟悉的等差数列的相关知识即可.
解 是等和数列，，公和为5，
，，
故
，.
，
所以数列形如：.
对于为偶数时，
对于为奇数时，，

回顾：对于像这样的题型，关键是要深刻分析所给的定义，通过类比等差数列的定义进行解题，另外还涉及到分类讨论的数学思想方法.对为奇偶数的情况进行讨论.
例13 已知求证.
证法一

当时取等号，即 .
证法二 要证原不等式，只需证，而要证.又只需证
，
要证
，
只需证
.

，
.
当时取等号，即所以.
回顾：对于这题我们可以由方法二可以看出，可以进行推广.
推广：若.则.
证明 要证，只需证
，
，
，

.
当时，不等式取等号.
.
回顾：平方平均与算数平均的不等式对于也成立.像这样我们不仅把原问题解决了，而且经过回顾把问题进行推广，这样可以很大程度上提高我们的解题能力.
4 类比的局限
虽然类比法在数学研究或者是数学解题发面有着十分重要的作用，但它仍然具有一定的局限性及偶然性.
首先，事物之间都具有统一性及差异性，这是类比的客观基础.统一性为类比提供依据，然而差异性却制约着类比的结论.任何两个对象即使再相似总存在一定的差异，根据相似属性进行类比，如果推出的属性正好是它们的差异性，那么类比产生的结论就是错误的.
例14 类比数运算的分配律与或类比，把与的类比，常造成下列错误：

像这样的类比，是出于主观意识的想法，结果必然是错误的.类比是一种合情推理，是一种发现的方法，而不是论证的方法.
其次，类比法的逻辑依据是不充分的，类比是以对象之间的某些相似属性或者是共同属性为依据的，但是，两个对象之间的这些属性虽然相似并不能得出它们的在其他属性方面也必然相似或相同，因为相似属性和与共同属性和推出的属性之间不一定具有必然的联系.
由于以上原因，同样是用类比法推出的结论，有的可能是对的有的可能是错的.有的可靠程度大一些，有的可靠程度小一些，但无论可靠程度有多大，都必须经严格的演绎证明才能确定结论的正确性.
在中学数学中，具有类比关系的知识非常多，本文主要是写了中学数学中应用类比法的一些特例，除了这些应用之外，还有很多很多的应用. 从这些类比法的应用中，不但能够帮助我们认识它们，还能够帮助我们开阔思路与启迪思维，从而使我们更容易发现解决问题的途径，达到轻松愉悦的解决问题.

参考文献
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致谢
本文是在陈萍老师精心指导和亲切关怀下完成的.陈老师严谨认真的态度，精益求精、一丝不苟的工作作风，深深地渲染和激励着我.从选题到定稿在到最后完成，陈老师都始终给予我精心的指点和不懈的支持.在此衷心的向陈老师致以真挚的谢意和崇高的敬意.陈老师：您辛苦了！
另外，还要感谢我们朝夕相处的舍友们，感谢你们在生活上、情感上、学习上的关心和帮助，谢谢你们！

目 录
第一章 项目的意义和必要性 1
1.1 项目名称及承办单位 1
1.2 项目编制的依据 1
1.3 肺宁系列产品的国内外现状 2
1.4产业关联度分析 3
1.5项目的市场分析 4
第二章 项目前期的技术基础 8
2.1成果来源及知识产权情况，已完成的研发工作 8
2.3产品临床试验的安全性和有效性 8
第三章 建设方案 23
3.1建设规模 23
3.2 建设内容 23
3.3产品工艺技术 23
3.5产品质量标准 29
3.6 土建工程 37
3.7 主要技术经济指标 39
第四章 建设内容、地点 41
4.1 建设内容及建设规模 41
4.2 建设地点 41
4.3外部配套情况 44
第五章 环境保护、消防、节能 46
5.1 环境保护 46
5.2消防 49
5.3节能 50
第六章 原材料供应及外部配套条件落实情况 52
6.1主要原辅材料、燃料、动力消耗指标 52
6.2 公用工程 54
第七章 建设工期和进度安排 56
7.1建设工期和进度安排 56
7.2建设期管理 56
第八章 项目承担单位或项目法人所有制性质及概况 57
8.1 项目承担单位概况 57
8.2 企业财务经济状况 58
8.3 项目负责人基本情况 59
第九章 投资估算与资金筹措 62
9.1 项目计算期 62
9.2 投资估算的编制依据及参数 62
9.3 投资估算 62
9.4 资金筹措 64
9.5 贷款偿还 64
第十章 财务评价 65
10.1财务评价依据 65
10.2销售收入和销售税金及附加估算 65
10.3利润总额及分配 66
10.4盈利能力分析 66
10.5不确定分析 66
10.6财务评价结论 68
第十一章 项目风险分析，效益分析 69
11.1 风险分析 69
11.2 效益分析 70