重庆市两江巴蜀中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=且∠ACB最大时，b的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：
（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠ABD＝90° B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ D．cosD＝
4．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　）

A．45° B．60° C．90° D．135°
8．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x10x2x3，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1y2y3 B．y3y2y1 C．y2y3y1 D．y1y3y2
9．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是( )

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
10．下列各组图形中，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2 020=0的两个实数根,则m2+3m+n=______.
12．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为________．

13．分解因式：x3y﹣xy3=_____．
14．若点,是抛物线上的两个点,则此抛物线的对称轴是___．
15．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=__________cm2.

16．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.

17．已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的度数为____________．
18．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．

三、解答题(共66分)
19．（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
20．（6分）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．

21．（6分） “垃圾分类”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　　人，条形统计图中的值为　　；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　　；
（3）若从对垃圾分类知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加垃圾分类知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（8分）如图，在梯形中，，，是延长线上的点，连接，交于点．

（1）求证：∽
（2）如果，，，求的长．
23．（8分）解方程：（公式法）
24．（8分）如图，在中，是上的高，.

（1）求证:;
（2）若，求的长．
25．（10分）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；

（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
26．（10分）如图所示，中，，，将翻折，使得点落到边上的点处，折痕分别交边，于点、点，如果，那么______.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当的外接圆与轴相切时，有最大值，此时圆心F的横坐标与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.
【详解】解：∵AB=，A(0,2)、B(a,a+2)
∴，
解得a=4或a=-4（因为a>0，舍去）
∴B(4,6)，
设直线AB的解析式为y=kx+2，
将B(4,6)代入可得k=1，所以y=x+2，
利用圆周角大于对应的圆外角得当的外接圆与轴相切时，有最大值.
如下图，G为AB中点，，

设过点G且垂直于AB的直线，
将代入可得，所以.
设圆心，由，可知，解得（已舍去负值）.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.
2、D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都相反，进行判断即可．
【详解】点A(－1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，－2)．
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标特征，熟记特殊点的坐标特征是关键．
3、D
【分析】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．
【详解】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；
∴点B在以AD为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故A正确；
∴点C是△ABD的外心，
在Rt△ABC中，sin∠D＝＝，
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝，故C正确；cosD＝，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
4、C
【解析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为.
故答案为：46.
【点睛】
找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
5、B
【解析】根据合并性质解答即可，对于实数a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，则有.
【详解】，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解答本题的关键.合比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比.
6、B
【解析】分析：画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为=，
故选：B．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7、C
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°

故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键
8、D
【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．
9、B
【分析】由题意可以知道M（1，2），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+2，
a=-0.1．
∴抛物线的解析式为：y=-0.1（x-1）2+2．
当y=0时，
0=-0.1（x-1）2+2，
解得：x1=-1（舍去），x2=2．
OB=2米．
故选：B．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
10、D
【分析】根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案，
【详解】解：．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是相似图形的定义，理解掌握概念是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2018.
【解析】根据题意得. m2+3m+n=2020+m+n，再根据m，n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个实数根，得m+n=-2，带入m2+3m+n计算即可.
【详解】解：∵m为一元二次方程x2+2x-2020=0的实数根，
∴m2+2m-2020=0，即m2=-2m+2020，
∴m2+3m+n=-2m+2020+3m+n=2020+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个实数根，
∴m+n=-2，
∴m2+3m+n=2020-2=2018.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
12、100°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°-130°=50°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°，
故答案是：100°．
【点睛】
考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13、xy（x+y）（x﹣y）．
【解析】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14、x=3
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【详解】解：点,是抛物线上的两个点,且纵坐标相等．
根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： .
15、9
【解析】
连接BF，过B作BO⊥AC于O，过点F作FM⊥AC于M.
Rt△ABC中,AB=3,BC=6, .
∵∠CAB=∠BAC, ∠AOB=∠ABC, ∴△AOB∽△ABC, , .
∵EF=BG=2BE=2GF，BC=2AB，
∴Rt△BGF和Rt△ABC中, ,∴Rt△BGF∽Rt△ABC，∴∠FBG=∠ACB,
∴AC∥BF,
∴S△AFC=AC×FM=9.
【点睛】
△ACF中，AC的长度不变，所以以AC为底边求面积．因为两矩形相似，所以易证AC∥BF，从而△ACF的高可用BO表示．在△ABC中求BO的长度，即可计算△ACF的面积．
16、
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；
【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
即DG=AB=3；
∵∠ACB=60°，BD=DC=BC，AG=GC=AC，且BC=AC，
∴△CGD是等边三角形，
∵CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，
由垂径定理得：EM=MF，
故DE=GF，
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD×DC=DE×DF，
即DE×(DE+3)=3×3；
解得DE=或（舍去）；
∴EF=3+2×=；
【点睛】
本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.
17、80°或100°
【解析】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，分类讨论可得解.
【详解】∵AB＝BC，∠ABC＝100°，
∴∠1＝∠2＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC.点D的位置有两种情况：
如图①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1＝∠CAD，
∴CE＝CF，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴∠ACE＝∠ACF.
在Rt△BCE与Rt△DCF中，，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∴∠BCD＝80°；

如图②，
∵AD′∥BC，AB＝CD′，
∴四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′＝∠ABC＝100°，
综上所述，∠BCD＝80°或100°，
故答案为80°或100°.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．
18、
【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，

∵点C是该门的最高点，
∴，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.5m，
设圆O的半径为R，则OE=2.5-R，
∵OA2=AE2+OE2，
∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，
解得：R=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）m＜；（2）﹣1．
【解析】试题分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式可得出，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
试题解析：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜，∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m的值为﹣1．
考点：根与系数的关系；根的判别式．
20、．
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】作A′H⊥y轴于H.

∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，
∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A′BH，
∵BA=BA′，
∴△AOB≌△BHA′(AAS)，
∴OA=BH，OB=A′H，
∵点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(0,6)，
∴OA=2，OB=6，
∴BH=OA=2，A′H=OB=6，
∴OH=4，
∴A′(6,4)，
∵BD=A′D ，
∴D(3,5)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴这个反比例函数的解析式
【点睛】
本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21、（1）60，10；（2）96°；（3）
【分析】（1）根据基本了解的人数和所占的百分比可求出总人数，m=总人数-非常了解的人数-基本了解的人数-了解很少的人数；
（2）先求出“了解很少”所占总人数的百分比，再乘以360°即可；
（3）采用列表法或树状图找到所有的情况，再从中找出所求的1名男生和1名女生的情况，再由概率等于所求情况数与总情况数之比来求解.
【详解】（1）

（2）“了解很少”所占总人数的百分比为
所以所对的圆心角的度数为
（3）

由表格可知，共有12种结果，其中1名男生和1名女生的有8种可能，所以恰好抽到1名男生1名女生的概率为
【点睛】
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，根据图中信息解题，以及用列表法或树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率等于所求情况与总情况之比求解，注意列表时要做到不重不漏.
22、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得到结论；
（2）由∽，得，进而即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，∽，
∴，即
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
23、
【分析】先确定a,b,c的值和判别式，再利用求根公式求解即可.
【详解】解：这里，，，
，
.
即
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键.
24、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由于tanB=cos∠DAC，根据正切和余弦的概念可证明AC=BD；
（2）根据，AD=24，可求出AC的长，再利用勾股定理可求出CD的长，再根据BC=CD+BD=CD+AC可得出结果．
【详解】（1）证明：是上的高，
．
在和中，
，，
又，
，
；
（2）解：在中，，AD=24，则，
．
又，
=AC+CD=26+10=1．
【点睛】
此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，掌握基本概念和性质是解题的关键．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）由平行投影性质：平行长不变，可得A1B1=AB；
（2）过A作AH⊥BB1，在Rt△ABH中有AH=ABcos30°，从而可得A1B1的长度．
【详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点．
26、
【分析】设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得，即，进而得到．
【详解】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A′FE，
∵A′F∥AB，∴∠AEF=∠A′FE，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
由折叠可得，AF=A′F，
设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，
∵A′F∥AB，∴△A′CF∽△BCA，
∴，即，解得x=，
∴.
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．