云南省昆明市云南师范大实验中学2022年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+b 与 y＝bx2+ax 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．设m是方程的一个较大的根，n是方程的一个较小的根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　)

A．4 B．.5 C．6 D．8
4．如图，在△ABO中，∠B=90º ，OB=3,OA=5，以AO上一点P为圆心，PO长为半径的圆恰好与AB相切于点C，则下列结论正确的是（　　）．

A．⊙P 的半径为
B．经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式是
C．点（3，2）在经过A，O，B三点的抛物线上
D．经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是
5．数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）
A．3和3 B．3和3.5 C．4和4 D．5和3.5
6．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（　　）

A．3 B．5 C．2.5 D．4
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)
8．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用表示孔庙的位置，用表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（ ）

A． B． C． D．
9．在中，，另一个和它相似的三角形最长的边是，则这个三角形最短的边是（ ）
A． B． C． D．
10．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（ ）
抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
48
98
144
193
489
784
981
A．12 B．24 C．1188 D．1176
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为_________cm．
12．若是方程的一个根，则代数式的值是______.
13．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．
14．若，则=___________．
15．如图，是⊙的直径，，点是的中点，过点的直线与⊙交于、两点.若，则弦的长为__________．

16．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．

17．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.

18．若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为　 　．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：x2﹣2x﹣5＝1．
20．（6分）如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；
（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．

21．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；
（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．
22．（8分）某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．

请你根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）请将以上两幅统计图补充完整；
（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有 人达标；
（3）若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？
23．（8分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）求证：；
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？

24．（8分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2.

（1）求反比例函数的表达；
（2）若射线上有点，，过点作与轴垂直，垂足为点，交反比例函数图象于点，连接，，请求出的面积.
25．（10分）感知定义
在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．

①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
26．（10分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示.

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据a、b的正负不同，则函数y=ax+b与y=bx2+ax的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．
【详解】若a＞0，b＞0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=bx2+ax开口向上，顶点在y轴左侧，故B、C错误；
若a＜0，b＜0，则y=ax+b经过二、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴左侧，故D错误；
若a＞0，b＜0，则y=ax+b经过一、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴右侧，故A正确；
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．
2、C
【分析】先解一元二次方程求出m，n即可得出答案．
【详解】解方程
得或，
则，
解方程，
得或，
则，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
3、C
【解析】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得
,
即，
解得EF=6，
故选C.
4、D
【分析】A、连接PC，根据已知条件可知△ACP∽△ABO，再由OP=PC，可列出相似比得出；
B、由射影定理及勾股定理可得点B坐标，由A、B、O三点坐标，可求出抛物线的函数表达式；
C、由射影定理及勾股定理可计算出点C坐标，将点C代入抛物线表达式即可判断；
D、由A，O，C三点坐标可求得经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式．
【详解】解：如图所示，连接PC，
∵圆P与AB相切于点C，所以PC⊥AB，
又∵∠B=90º，
所以△ACP∽△ABO，

设OP=x，则OP=PC=x，
又∵OB=3，OA=5，
∴AP=5-x，
∴，解得，
∴半径为，故A选项错误；

过B作BD⊥OA交OA于点D，
∵∠B=90º，BD⊥OA，
由勾股定理可得：，
由面积相等可得：
∴，
∴由射影定理可得，
∴
∴，
设经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式为；
将A(5,0)，O(0,0)，代入上式可得：
解得 ，，c=0,
经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式为，
故B选项错误；

过点C作CE⊥OA交OA于点E，
∵，
∴由射影定理可知，
∴，所以，
由勾股定理得，
∴点C坐标为，
故选项C错误；

设经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是，
将A(5,0)，O(0,0)，代入得，
解得：，
∴经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是，
故选项D正确．
【点睛】
本题考查相似三角形、二次函数、圆等几何知识，综合性较强，解题的关键是要能灵活运用相似三角形的性质计算．
5、A
【分析】根据众数和中位数的定义：一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数；即可得解.
【详解】由已知，得该组数据中，众数为3，中位数为3，
故答案为A.
【点睛】
此题主要考查对众数、中位数概念的理解，熟练掌握，即可解题.
6、C
【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB==5，
则OE=AD=．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
7、C
【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，0），
故选C．
8、A
【分析】根据孔庙和东山公园的位置，可知坐标轴的原点、单位长度、坐标轴的正方向，据此建立平面直角坐标系，从而可得体育场的位置.
【详解】由题意可建立如下图所示的平面直角坐标系：

平面直角坐标系中，原点O表示孔庙的位置，点A表示东山公园的位置，点B表示体育场的位置
则点B的坐标为
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知点在平面直角坐标系中的位置求其坐标，依据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键.
9、B
【分析】设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【详解】设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB＝12，BC＝1，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
10、B
【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02，
出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【分析】设比例中项为c，得到关于c的方程即可解答.
【详解】设比例中项为c，由题意得： ，
∴，
∴c1=6，c2=-6（不合题意，舍去）
故填6.
【点睛】
此题考查线段成比例，理解比例中项的含义即可正确解答.
12、9
【分析】根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
13、x=4
【解析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A（1，-4）和点B（6，-4）都在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，得到其对称轴为x==1．故答案为x=4.
14、
【分析】把所求比例形式进行变形，然后整体代入求值即可．
【详解】，，；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的方法是解题的关键．
15、
【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．
【详解】连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：

则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，
∴CD=2DE=；
故答案为．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
16、
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为．
17、140
【解析】试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
18、1
【解析】试题分析：先求出m2﹣2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．
解：由m2﹣2m﹣1=0得m2﹣2m=1，
所以，2m2﹣4m+3=2（m2﹣2m）+3=2×1+3=1．
故答案为1．
考点：代数式求值．

三、解答题(共66分)
19、x1＝1+，x2＝1﹣．
【解析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．
【详解】解：x2﹣2x+1＝6，
那么（x﹣1）2＝6，
即x﹣1＝±，
则x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
20、（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）k可能的取值为-1、-2、-3，b可能的取值为-1、-2、3、4，所以将所有等可能出现的情况用列表方式表示出来即可．
（2）判断出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限时k、b的正负，在列表中找出满足条件的情况，利用概率的基本概念即可求出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限的概率．
【详解】解：（1）列表如下：

所有等可能的情况有12种；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，情况有4种，
则P== ．
21、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，
∴＝，
∴设BC＝k，AC＝4k，
∴AB＝＝3k＝6，
∴k＝2，
∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
22、（1）详见解析；（2）1；（3）10
【分析】（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣成绩优秀的百分比﹣成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数，然后补全图形即可．
（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；
（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．
【详解】（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%，
测试的学生总数=24÷20%=120人，
成绩优秀的人数=120×50%=60人，
所补充图形如下所示：

（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=1．
（3）1200×(50%+30%)=10(人)．
答：估计全校达标的学生有10人．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23、（1）见解析；（2）当，有最大值；（3）当点E是AD的中点
【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，从而全等三角形可证；
（2）先证明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值．
（3）由（2），再由，可得，则问题可证．
【详解】（1）证明： ∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°
∴∠ABE=∠CBG
在△AEB和△CGB中：
∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ， ∠ABE=∠CBG
∴△AEB≌△CGB （ASA）
（2）如图

∵四边形ABCD，四边形BEFG均为正方形
∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90°
∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°
∴∠DHE=∠AEB
∴△ABE∽△DEH
∴
∴
∴
故当，有最大值
（3）当点E是AD的中点时有 △BEH∽△BAE．
理由：∵ 点E是AD的中点时由（2）可得
又∵△ABE∽△DEH
∴，
又∵
∴
又∠BEH=∠BAE=90°
∴△BEH∽△BAE
【点睛】
本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式．
24、（1）y=(x>0)；（2）△OAB的面积为2.
【分析】（1）将A点的横坐标代入正比例函数，可求出A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数求出k，即可得解析式；
（2）过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，根据平行线分线段成比例得，进而求出M点坐标，将M点的横坐标分别代入反比例函数和正比例函数，求出B、P的坐标，再利用三角形面积公式求出△POM、△BOM的面积，作差得到△BOP的面积，最后根据S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2即可求解．
【详解】解：（1）A点在正比例函数y=x的图象上，当x=2时，y=3，
∴点A的坐标为(2,3)
将(2,3)代入反比例函数解析式y= (x>0)，得，解得k=1．
∴反比例函数的表达式为y=(x>0)
（2）如图，过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，

∴.
∵PA=2OA，
∴MN=2ON=4，
∴OM=ON+MN=2+4=1
∴M点的坐标为(1,0)
将x=1代入y=，得y==1，
∴点B的坐标为(1,1)
将x=1代入y=x，得y==9，
∴点P的坐标为(1,9)．
∴S△POM=×1×9=27，S△BOM=×1×1=3
∴S△BOP=27-3=24
又∵S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2
∴S△OAB=×24=2
答：△OAB的面积为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，以及平行线分线段成比例，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用点的坐标求三角形面积是解题的关键．
25、（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明:如图1中,

∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABC＝2∠ABD,
∵∠C＝90°,
∴∠A+∠ABC＝90°,
∴∠A+2∠ABD＝90°,
∴△ABD为“类直角三角形”;
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,
在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,
∴AC＝,
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,
∴∠ABE+2∠A＝90°,
∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,
∴∠A＝∠CBE,
∴△ABC∽△BEC,
∴,
∴CE＝,
（2）∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,
∵AD＝6,AB＝10,
∴BD＝,
①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,

∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,
∴∠CAD+∠DAF＝180°,
∴C，A，F共线,
∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,
∴∠C＝∠ABF,
∴△FAB∽△FBC,
∴,即 ,
∴AC＝．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2∠ABC＝90°,
∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,
∴△DAC∽△FBC,
∴,即,
∴CD＝（AC+6）,
在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,
∴AC＝或﹣6（舍弃）,
综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为 或．
【点睛】
本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识, 解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.
26、（1） ；（2）销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】解：（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，.
∴，解得
∴与之间的关系式为
（2）设该公司日获利为元，由题意得

∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
.
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得。