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第三章 空间向量与立体几何

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：

3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。

7. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

(2) 右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；

（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。
（4）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则
，
，，
，
或
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（5）模长公式：若，，
则，
（6）夹角公式：。
（7）两点间的距离公式：若，，
则，
或
（8）空间线段的中点的坐标：
（9）球面方程：

8. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③=，
（5）空间向量数量积运算律：
①。
②（交换律）。
③（分配律）。

9、 空间向量在立体几何证明中的应用：

（1）证明，即证明，也就是证明或
（2）证明，即证明，也就是证明
（3）证明（平面）（或在面内），即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；
（4）证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；
（5）证明两平面（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；
（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。

10. 运用向量的坐标运算解题的步骤：
（1）建坐标系，求相关点的坐标
（2）求相关向量的坐标
（3）运用向量运算解题

11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：
（1） 两条直线的夹角：
设直线的方向向量分别为，
两直线,所成的角为(),=

（2） 直线与平面的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，
直线与平面所成的角为(),=；

（3） 二面角：
①　 方向向量法：

②　 法向量法：

法向量的方向：
一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.
（1） 点与直线的距离：

（2） 点到平面的距离：d=.
如图A空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为,且与不共线,
分析:过P作PO⊥于O,连结OA.
则d=||=
∵⊥,∴∥.
∴cos∠APO=|cos|.
∴d=|||cos|=.

（3） 异面直线间的距离：
已知a,b是异面直线,CD为a,b的公垂线,A，B分别在直线a,b上

（4） 其它距离问题：
①　 平行线的距离(转化为点到直线的距离）
②　 直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）
③　 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）

13.补充：
（1） 三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为， AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
（2）三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;
(当且仅当时等号成立).
（3）点到直线距离
(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).
（4）异面直线上两点距离公式
.
.
（）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).
（5）三个向量和的平方公式

（6）长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
（7）面积射影定理
.
(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).
（8）斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则
①.
②.
（9）欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
①　 =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：
②　 若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
(10) 球的组合体
①　 球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
②　 球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
③　 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.