2022-2023学年山东省青岛大附属中学数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．有最低点 D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
2．如图，已知a∥b∥c，直线AC，DF与a、b、c相交，且AB=6，BC=4，DF=8，则DE=（  ）

A．12 B． C． D．3
3．涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
5．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（　　）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
6．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）

-1
0
1
3

-1
3
5
3
A． B．当时，的值随值的增大而减小
C．当时， D．3是方程的一个根
8．如图，已知菱形OABC，OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，且OD=2，则k的值为（ ）

A．3 B． C． D．
9．如图，抛物线与轴交于点,与轴的负半轴交于点,点是对称轴上的一个动点．连接,当最大时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）．

A．10° B．20° C．40° D．80°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为_____．

12．若反比例函数y=的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为_____．

14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．

15．边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为（______）cm．
16．如图，一块含30°的直角三角板ABC（∠BAC＝30°）的斜边AB与量角器的直径重合，与点D对应的刻度读数是54°，则∠BCD的度数为_____度．

17．若关于的一元二次方程没有实数根．化简：=____________．
18．某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.5m，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其中，落在墙壁上的影长为0.8m，落在地面上的影长为4.4m，则树的高为_______m.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在中，∠A=90°，AB=12cm，AC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2cm的速度移动，点Q沿CA边从点C开始向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q同时出发，用t表示移动的时间．

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
20．（6分）有六张完全相同的卡片，分两组，每组三张，在组的卡片上分别画上“√，×，√”，组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．
（2）若把两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．

21．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+1）（x+2）＝2x+1．
22．（8分）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．

23．（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
24．（8分）如图，已知AB经过圆心O ，交⊙O于点C．
（1）尺规作图：在AB上方的圆弧上找一点D，使得△ABD是以AB为底边的等腰三角形（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠DAB=30°，求证：直线BD与⊙O相切．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，求的值．

26．（10分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+，
∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝，故选项B错误；
当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；
在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
2、C
【解析】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AB＝6，BC＝4，DF＝8，
∴，
∴DE＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3、A
【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，
根据题意，得，
故选A.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．
4、C
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝1
∴（x﹣1）2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查利用配方法将一元二次方程变形，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.
5、A
【解析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π•5，
解得R＝1．
即圆锥的母线长为1cm，
∴圆锥的高为：5cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6、A
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图像顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
7、C
【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的x，可判断C选项，把对应参数值代入即可判断D选项.
【详解】把(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入得，解得，
∴，
A.，故本选项正确；
B.该函数对称轴为直线，且，函数图象开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C.由表格可知，当x=0或x=3时，y=3，且函数图象开口向下，所以当y<3时，x<0或x>3，故本选项错误；
D.方程为，把x=3代入得－9+6+3=0，所以本选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识， “待定系数法”是求函数表达式的常用方法，需熟练掌握.
8、B
【分析】由OD=，则点A、B的纵坐标为，得到A（，），B（，），求得AB=AO=，AD=，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC，AB=AO，
∵OD=，
∴点A、B的纵坐标为，
∴A（，），B（，），
∴AB=，AD=，
∴AO=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
9、D
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，A(0,-3),B(-1,0),抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得≤AB,当ABM三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时，最大.求出点M的坐标即可.
【详解】解:根据三角形三边的关系得：
≤AB,当ABM三点共线时取等号，
当三点共线时，最大,
则直线与对称轴的交点即为点．
由可知，,
对称轴
设直线为．

故直线解析式为
当时，
.
故选：．

【点睛】
本题考查了三角形三边关系的应用，及二次函数的性质应用.找到三点共线时最大是关键
，
10、B
【详解】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,
所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,
即
故选B
考点：同一弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出，根据平行线分线段成比例定理，求出，最后由三角形的面积的和差法求得．
【详解】连接DC，设平行线间的距离为h，
AD=2a，如图所示：

∵，
，
∴S△DEF=S△DEA，
又∵S△DEF=1，
∴S△DEA=1，
同理可得：，
又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，
∴，
又∵平行线是一组等距的，AD=2a，
∴，
∴BD=3a，
设C到AB的距离为k，
∴ak，
，
∴，
又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．
12、m>1
【解析】∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，
∴>0，
解得：m>1，
故答案为m>1.
13、x1＝﹣1或x2＝1．
【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．
【详解】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（1﹣1）＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x＝﹣1或x＝1时，函数值y＝0，
即﹣x2+2x+m＝0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝1．
故答案为：x1＝﹣1或x2＝1．
【点睛】
本题考查了关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
14、1， ，
【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，

∴,∴,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．

∴,∴,∴DP=;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，

∴,∴,∴DP=;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

综上所述，满足条件的DP的值为1， ，.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．
15、4π
【解析】试题解析：∵边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线是一段弧长，
弧长是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是180°的弧长，
∴根据弧长公式可得：=4π．
故选A．
16、1．
【分析】先利用圆周角定理的推论判断点C、D在同一个圆上，再根据圆周角定理得到∠ACD=27°，然后利用互余计算∠BCD的度数.
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴点C在量角器所在的圆上
∵点D对应的刻度读数是54°，即∠AOD＝54°，
∴∠ACD＝∠AOD＝27°，
∴∠BCD＝90°﹣27°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
17、
【分析】首先根据关于x的一元二次方程没有实数根求出a的取值范围，然后利用二次根式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得，
当时，
原式

，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式及二次根式的基本性质，解题的关键是根据根的判别式确定未知数的取值范围．
18、9.2
【分析】由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，
解得x=1.1．
树高是1.1+0.1=9.2（米）．
故答案为：9.2．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）或．
【分析】（1）利用距离=速度×时间可用含t的式子表示AP、CQ、QA的长，根据QA=AP列方程求出t值即可；
（2）分△QAP∽△BAC和△QAP∽△CAB两种情况，根据相似三角形的性质列方程分别求出t的值即可．
【详解】（1）∵点P的速度是每秒2cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴，，，
∵时，为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴当时，为等腰直角三角形．
（2）根据题意，可分为两种情况，
①如图，当∽时，，
∴，
解得：，

②当∽，，
∴，
解得：，

综上所述：当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t的方程式是解题的关键．
20、（1）；（2）①；②
【分析】（1）画出树状图计算即可；
（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；
【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：

从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，
∴（两张都是“√”）
（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为．
【点睛】
本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．
21、（2）x2＝，x2＝；（2）x2＝﹣2，x2＝2
【分析】用求根公式法，先计算判别式，在代入公式即可，
用因式分解法，先提公因式，让每个因式为零即可．
【详解】解：（2）x2﹣3x+2＝0，
△=b2-2 ac==9-2=5，
∵x＝，
∴x2＝，x2＝；
（2）（x+2）（x+2）＝2x+2，
（x+2）（x+2）＝2（x+2），
（x+2）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣2）＝0，
x+2＝0，x﹣2＝0，
∴x2＝﹣2，x2＝2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法，会根据方程特点，选取适当的方法解方程是解题关键．
22、（1）；（2）45°；（3）1．
【解析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理求出点O到H的距离即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质，先证明△CDF∽△BDC，再根据相似三角形的性质可求解；
（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，利用相似三角形的性质判定，求得BH的长，然后根据三角形的面积求解即可.
【详解】解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，

∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED=弧CD，
∴∠OCH=45°，
∴OH=CH，
∵圆O的半径为2，即OC=2，
∴OH=；
（2）∵当DF•DB=CD2时，，
又∵∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF=∠DBC，
∵∠DCF=45°，
∴∠DBC=45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，

∵BD=BC，OD=OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO=90°=∠EBC，
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2=AE×AC，
∴，
设AE=x，则AB=2x，
∴AC=4x，EC=3x，
∴OE=OB=OC=，
∵CD=12，
∴CH=6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，
∴BH=BO+OH=12，
∴△BCD的面积=×12×12=1．
23、（1）两人抽取相同数字的概率是；（2）这个游戏公平．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人抽取相同数字的情况数，然后根据概率公式即可得出答案;
（2）根据概率公式求出两人抽取的数字和为4的倍数以及和为奇数的概率,然后进行比较即可得出答案．
【详解】（1）根据题意画树状图如下：

共有9种等情况数，其中两人抽取相同数字的有3种，
则两人抽取相同数字的概率是；
（2）∵共有9种等情况数，其中两人抽取的数字和为4的倍数有4种，抽取的数字和为奇数的有4种，
∴P（和为4的倍数）＝，P（和为奇数）＝，
∴这个游戏公平．
【点睛】
本题主要考查的是利用概率计算判断游戏公平性, 解决本题的关键是要熟练掌握树状图求概率的方法.
24、（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）作线段AB的垂直一部分线，交AB上方的圆弧上于点D，连接AD，BD，等腰三角形ABD即为所求作；
（2）由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜，连接OD，利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜，再由三角形内角和求得∠ODB=90゜,从而可证得结论．
【详解】（1）如图所示；

（2）∵△ABD是等腰三角形，且∠DAB=30°，
∴∠DBA=30゜，
连接OD，
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=30゜
∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜
在△ODB中，∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜
∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜，即
∴直线BD与⊙O相切．
【点睛】
本题考查的是切线的判定，掌握“连交点，证垂直”是解决这类问题的常用解题思路．
25、（1）见解析 （2）
【分析】（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线．
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，从而可求得的值．
【详解】（1）证明：连接OC．

∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE．∴△ABC∽△CBE．
∴．∴．
26、（1）见解析；（2）﹣2或2
【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于1，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，由|x1﹣x2|＝即可求得a的值．
【详解】（1）证明：∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞1，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则，
∵，
∴,
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
【点睛】
本本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系.