2016高三一轮复习学案(理数)(人教)第10章概率与统计第3课时二项分布及其应用.doc

第3课时　二项分布及其应用
考纲
索引
1. 条件概率.
2. 事件的相互独立性.
3. 独立重复试验与二项分布.
课标
要求
1. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念.
2. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1. 条件概率
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=　　　　为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　. 
2. 事件的相互独立性
设A,B为两个事件,如果P(AB)=　　　　,称事件A与事件B相互独立.如果事件A与事件B相互独立,则A与　　　　,　　　　与B,与　　　　也都相互独立. 
3. 独立重复试验与二项分布
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=　　　　,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看成是个互斥事件的和,其中每一个事件都可看成是k个A事件与n-k个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是　　　　.因此n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率为. 
基础自测

指 点 迷 津　　

P(B|A)与P(AB)的区别
P(B|A)的值是P(AB)发生相对于事件A发生的概率的大小,而P(AB)是AB发生相对于原来的全体基本事件而言,一般P(B|A)≠P(AB).
考点透析
考向一　条件概率
例1　　从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到2个数的和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于(　　).

变式训练
1. 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格后,第二次再次取到不合格品的概率为　　　　. 

考向二　相互独立事件的概率
例2　　甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均末命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p;
(2)求甲投球2次,至少命中1次概率;
(3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.
【审题视点】　注意相互独立事件之间的概率互不影响.

【方法总结】1. 当从意义上不易判定两件事是否相互独立时,可运用公式P(AB)=P(A)P(B)计算判定.求相互独立事件同时发生的概率时,要搞清楚事件是否相互独立.若能把复杂事件分解为若干简单事件,同时注意运用对立事件可把问题简化.
2. 由两个事件相互独立的定义,可推广到三个成三个以上相互独立事件的概率计算公式,即若A1,A2,…,An,相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
3. 在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.若能把相关事件正确地表示出来,同时注意使用逆向思考方法,常常能使问题的解答变得简便.
变式训练
2. (2013·陕西)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.

考向三　二项分布
例3　　某小学三年级英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词,每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同).
(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测,求至少有3个是后两天学习过的单词概率;
(2)某学生对后两天学过的单词每个能默写对的概率为,对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为;若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测,求该学生能默写对的单词数ξ的分布列.
【审题视点】　本题运用二项分布的知识解题.

【方法总结】1. 独立重复试验是相互独立事件的特例,注意二者的区别.独立重复试验必须具备如下的条件:(1)每次试验的条件完全相同,有关事件的概率不变;(2)各次试验结果互不影响,即每次试验相互独立;(3)每次试验只有两种结果,这两种可能结果的发生是对立的.
2. 判断某随机变量是否服从二项分布,主要看以下两点:(1)在每次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生;(2)在每一次试验中,事件发生的概率相同.若满足,则在n次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量,此时该随机变量服从二项分布.写二项分布时,首先确定X的取值,直接用公式P(X=k)计算概率即可.
变式训练

经典考题
典例　(2014·四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【解题指南】　本题考查了二项分布、随机变量的分布列以及数学期望;独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
【解析】　(1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有

真题体验
1. (2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.

2. (2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多
可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

参考答案与解析
知识梳理
基础自测

考点透析

变式训练

经典考题
真题体验