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数列
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；
数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。
（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：…
说明：
①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =；
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
（5）数列{}的前项和与通项的关系：
二、等差数列
(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或
例：等差数列，
(二)、等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
例：1.已知等差数列中，等于（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列，则为 为 （填“递增数列”或“递减数列”）
(三)、等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列 即： （）
例：1．（全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则 （ ）
A． B． C． D．
(四)、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则；
(五)、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )
递推公式：
例：1.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.（湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.（全国卷Ⅰ） 设等差数列的前项和为，若,则=
4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
5.已知等差数列的前项和为，若
6.（全国卷Ⅱ）设等差数列的前项和为，若则
7.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( )
C. D.
8.（陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则
9．（全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。
(六).对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；
（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。
1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________
2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d
3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_______
(七).对与一个等差数列，仍成等差数列。
例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。
3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
4.设为等差数列的前项和，=
5．（全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A． B． C． D．
(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：
是等差数列
例：1.已知数列满足，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列的通项为，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
4.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.已知一个数列满足，则数列为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
6.数列满足=8， （）
①求数列的通项公式；

7．（天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
(九).数列最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；
可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：
若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
例：1．等差数列中，，则前 项的和最大。
2．设等差数列的前项和为，已知

①求出公差的范围，
②指出中哪一个值最大，并说明理由。

3．（上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
4．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是
5.已知是等差数列，其中，公差。
（1）数列从哪一项开始小于0？
（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

(十).利用求通项．
1.数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？

2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；

3.（安徽文）设数列的前n项和，则的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
4、北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

三、等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：

(一)、递推关系与通项公式

1． 在等比数列中,，则
2． 在等比数列中,,则
3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
4.在等比数列中，，，则=

5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189
(二)、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.
例：1.和的等比中项为( )

2.（重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）
A． B． C． D．
(三)、等比数列的基本性质，
1.（1）
（2）
（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例：1．在等比数列中,和是方程的两个根,则( )

2. 在等比数列，已知，，则=
3.等比数列的各项为正数，且（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+
4.（广东卷）已知等比数列满足，且，则当时， （ ）
A. B. C. D.
(四)、等比数列的前n项和，

例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和
2．（北京卷）设，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

(五). 等比数列的前n项和的性质
若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.
例：1.（辽宁卷）设等比数列{ }的前n 项和为，若 =3 ，则 =
A. 2 B. C. D.3
2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
3.已知数列是等比数列，且
(六)、等比数列的判定法
（1）定义法：为等比数列；
（2）中项法：为等比数列；
（3）通项公式法：为等比数列；
（4）前项和法：为等比数列。
为等比数列。
例：1.已知数列的通项为，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列满足，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：1已知等差数列满足：， 求；

2.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式

3.已知数列满足 （），求数列的通项公式；

4. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；

5.数列已知数列满足则数列的通项公式=

（2）累加法
1、累加法 适用于：
若，则
两边分别相加得
例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

3. 已知数列满足，求数列的通项公式。

（3）累乘法
适用于：
若，则
两边分别相乘得，
例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，，求。

3.已知， ，求。

（4） 待定系数法
适用于
例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。
2. （重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________
3.已知数列满足求数列的通项公式；

（5）递推公式中既有
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
1. （北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

2.（山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

(6)取倒数法。

五、数列求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时一定要讨论

2．错位相减法求和：如：
例：1．求和

2.求和：

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：

数列是等差数列，数列的前项和
例：1.数列的前项和为，若，则等于（　）
A．1 B． C． D．
2.已知数列的通项公式为，求前项的和；

4.已知数列的通项公式为＝，设，求．

5．求。

3.已知等差数列满足, .
(1)求数列的通项公式及
（2）求数列的前n项和

7.已知等差数列满足：，的前n项和
（1）求及
（2）令（），求数列前n项和
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