浙江省杭州十四中2012届高三9月月考试题数学文.doc

2012届杭州市第十四中学高三9月月考
数学（文科）试题 2011.9
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页,选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 柱体的体积公式

如果事件A，B相互独立,那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么
n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中分别表示台体的上底、下底面积,
h表示台体的高 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，全集U=R,则下列结论正确的是
(A） （B）
(C) （D）
2．设纯虚数z满足 （其中i为虚数单位），则实数a等于
（A) 1 （B） －1 （C) 2 （D) －2
3．已知a，b都是实数,那么“”是“”的
(A) 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件
（C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件

4．函数 是
(A） 周期为的偶函数 （B) 周期为2的偶函数
(C） 周期为2的奇函数 (D） 周期为的奇函数
5．设 l、m、n 为不同的直线，、为不同的平面，则正确的命题是
(A) 若 ⊥，l⊥,则 l ∥
(B） 若 ⊥，，则 l⊥
(C) 若 l⊥m，m⊥n,则 l ∥n
(D) 若m⊥,n∥且∥，则 m⊥n
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
(A） 2 (B） 1 （C) http://www.7caiedu。cn/ （D) http://www.7caiedu。cn/
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则S0值为下列各值中的
(A) 0 (B） 1 (C） 2 （D） 3
（第6题图）

8．已知偶函数对任意实数都有，且在上单调递减,则
（A） (B)
(C） (D)
9．已知数列,若（）,（），则能使成立的的值可能是
(A）14 (B)15 （C）16　 （D)17
10．设（），且满足。对任意正实数a，下面不等式恒成立的是
（A） (B)
（C） （D)
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分,共28分。
11．的单调递减区间是 。
12．若函数 的图象关于直线 对称，则实数 a 的值是 。
13．若，，且满足 ，，则 y 的最大值是 。
14．设 a、b 为两非零向量，且满足 | a ｜＝2｜ b ｜＝｜ 2a + 3b|，则两向量 a、b 的夹角的余弦值为 。
15．已知函数，对任意，当 时，恒有，则实数的取值范围是________。
16．已知函数 的定义域为R，且对任意 ，都有
。
若，，则 。
17．已知四面体ABCD中，DA＝DB＝DC＝,且DA，DB，DC两两互相垂直,点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的取值范围是 .
（第17题图）

三、解答题：本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量 ，．已知 ．
（I）若，求角A的大小；
（II)若，求的取值范围。

19．（本题满分14分）已知数列 、 满足 ，，.
（I）求证数列为等差数列,并写出数列的通项公式；
(II）若数列的前项和为 ，设 ，求证：。

20．（本题满分15分）
如图1，在直角梯形中,，，,为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.
（I）求证:平面；

A
B
C
D
图2
M
B
A
C
D
图1
M
.
（第20题图）
（II） 求二面角的余弦值。

21．(本题满分15分）
已知A（1,1）是椭圆（）http：//www.7caiedu。cn/上一点,F1，F2是椭圆上的两焦点,且满足http：//www。7caiedu。cn/。
(I)求椭圆方程；
(II）设C,D是椭圆上任意两点,且直线AC,AD的斜率分别为http：//www。7caiedu。cn/，若存在常数http：//
22．（本题满分14分)
已知函数(且)．
（I）当时，求证：函数在上单调递增；
（II)若函数有三个零点，求t的值;
(III）若存在x1,x2∈[﹣1,1］,使得，试求a的取值范围．
注：e为自然对数的底数。
答案：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
D
D
B
A
B
C
D
二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分.
11．
12．
13．
14．
15．
16．－13
17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）
解:（Ⅰ）由，得
即 ,
即 或（舍去），
所以 ………………………………………6分
（Ⅱ）由,得 ，
即 ，
即 或 (舍去），
又

。
综上，需要满足
,
解之得 。 ………………………………………14分
19．（本题满分14分）解：（I）由 得 代入 ，
得 ，整理得 。
∵ , 否则 ，与 矛盾。
从而得 ,
∵ ∴数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
∴，即．-————------—--——-———-———-——------——---——--—-——-----—-——-—--—--7分
（II)∵ ，
∴ ＝
＝。
证法1：∵
＝
＝
∴．———————-—-——--———————-——-—--——-----—--—--————-----——-----——-——14分
证法2： ∵ , ∴，
∴ .
∴．—-——------————--—————-----——--——-----—--—-—-—-——--———-———-——--—14分
（III）（教师讲评试卷的时候可以选用该小题）
求证:对任意的有成立．
用数学归纳法证明：
①当时，不等式成立；
②假设当（，）时,不等式成立，即
，那么当时

＝
∴当时，不等式成立.
由①②知对任意的，不等式成立．

20．（本题满分15分）
解:(I）在图1中,可得，从而，故
取中点连结，则，又面面,
面面，面,从而平面，
∴
又,, ∴平面 …………7分
（II）∴二面角的余弦值为. …………7分
21．（本题满分15分）
（I）http：//www。7caiedu。cn/所求椭圆方程
(II）设直线AC的方程：
点Chttp：//www。7caiedu。cn/，
同理http://www。7caiedu。cn/
http：//www.7caiedu。cn/
http：//
要使
得C=1， ………15分
备用： 已知点（)，过点P作抛物线C：的切线,切点分别为、(其中)．
（Ⅰ）求与的值（用a表示）；
（Ⅱ)若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．
解：（Ⅰ）由可得，．
∵直线与曲线相切,且过点，
∴,即,
∴，或，
同理可得：，或
∵，∴，． ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,，
则直线的斜率,
∴直线的方程为：,又，
∴，即．
∵点到直线的距离即为圆的半径，即,
∴
,
当且仅当，即,时取等号．
故圆面积的最小值． ……15分
22．（本题满分14分)
解：（Ⅰ），
由于,故当x∈时，lna＞0,ax﹣1＞0,所以,
故函数在上单调递增. ………………………………………4分
（Ⅱ）当 a＞0，a≠1时，因为 ,且 在R上单调递增,
故 有唯一解x=0。
要使函数 有三个零点，所以只需方程 有三个根,
即，只要 ，解得t=2; ………………………………9分
（Ⅲ)因为存在x1,x2∈［﹣1，1]，使得,
所以当x∈［﹣1，1]时,。
由（Ⅱ)知,，
。
事实上,。
记 （）
因为
所以 在上单调递增，又。
所以 当 x＞1 时，；
当 0＜x＜1 时，,
也就是当 a＞1时,；
当 0＜a＜1时,。
① 当时，由，得,
解得 。
②当0＜a＜1时，由，得，
解得 .
综上知,所求a的取值范围为.