2019年衡南县“五科联考”数学试卷(含答案).doc

2019年衡南县“五科联考”数学试卷（含答案）
本试题卷共4 页，21题。全卷满分：130分。考试时间：10：30－12：10
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、学校等填写在答题卡上；
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，并保持答题卡的整洁；
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用修正带。考试结束，务必将试卷和答卷一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）
1．已知，，且，则的值是（　　）
A．零 B．正数 C．负数 D．不确定
【分析】绝对值不相等的异号两数相加取绝对值较大的加数的符号．
【解答】解：∵　，，
∴　
故选：B．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法，判断出和的符号与x的符号一致是解题的关键．

2．已知非零实数a、b满足，则（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】首先根据实数的非负性得到a、b、c的值，再代入即可求解．
【解答】解：∵　
∴　，解得：
∴　
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质和根据几个非负数之和等于0，求未知数的值．

3．已知，则一次函数的图象必定经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第三、四象限
【分析】先根据等式求出t的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）
【解答】解：∵　
∴　
①＋②＋③＋④，得：
① 当时，，此时直线过第一、二、三象限
② 当时，，则，此时直线过第一、二、四象限
综上，直线必定经过第一、二象限
故选：A．
【点评】此题考查了学生的综合应用能力，首先根据比例的基本性质求得t的值，再根据一次函数的性质求得结果．

4．如图，两个反比例函数和（）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，PC⊥x轴于点C，交于点A，PD上y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为．
【解答】解：
故选：B．
【点评】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点．

5．甲、乙、丙、丁四位同学参加学校接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，则恰好甲从乙手中接到接力棒的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．注意要做到不重不漏．
【解答】解：根据题意，画树状图得：

∴　一共有24种跑步顺序，而恰好由乙将接力棒交给甲的有6种
∴　
故选：B．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意画树状图是要做到不重不漏．

6．计算：（　　）
A． B． C． D．
【分析】先构造含30°角的直角三角形，利用勾股定理得出各边长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可．
【解答】解：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，，则，，延长CA至D，使，连结BD
A
C
B
D

∴　，
∴　
∴　
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是构造含30°角的直角三角形．

7．一列“和谐号”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与120米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在“和谐号”上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见“和谐号”列车驶过窗口的时间是（　　）秒
A．9 B．7.5 C．6 D．4
【分析】应先算出甲乙两列车的速度之和，乘以“和谐号”列车驶过窗口的时间即为“和谐号”列车的车长，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，得
，解得：
故选：D．
【点评】考查了一元一次方程在行程问题中的应用；注意两车相向而行，速度为两车的速度之和，路程为静止的人看到的车长．

8．设，则（　　）
A．24 B．25 C． D．
【分析】先把已知条件变形得，则，所以，再把原式变形得到，然后利用整体代入计算得原式，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵　
∴　
∴　
∴　
∴　
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式和整式的化简求值．灵活运用“换元法”是解题的关键．

9．已知t是实数，若a、b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最大、最小值分别为（　　）
A．最大值为0，最小值为－1 B．最大值为0，最小值不存在
C．最大值为0，最小值为－4 D．最大值为不存在，最小值不存在
【分析】根据方程根的判别式，可得t的取值范围，根据根与系数的关系，可得ab，（a＋b）的值，根据t的取值范围，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，解得：
又∵　，
∴　
当时，
当时，
∴　的最大值为0，最小值为－1
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根的判别式、根是非负数得出不等式组是解题关键，又利用了根与系数的关系．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边BC上，∠BAD＝60°，在AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．60°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，再根据等边对等角的性质得到∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入数据计算即可求出∠EDC的度数．
【解答】解：∵　AB＝AC，AD＝AE
∴　∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE
∵　∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°，∠AED＝∠EDC＋∠C
∴　∠EDC＋∠EDC＋∠C＝∠B＋60°
∴　
故选：B．
【点评】本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5题，每小题4分，共20分）
11．某工厂向银行申请了甲种贷款1500万元，乙种贷款2000万元，甲种贷款的年利率为7%，乙种贷款的年利率为6%，该工厂每年付出的利息是_______________元．（用科学记数法表示）
【分析】先根据题意计算出结果，再用科学记数法表示数据．
【解答】解：每年付出的利息（元）
故答案为：．
【点评】科学记数法的形式为，其中，n为正整数．要求熟记该形式，并会用科学记数法来表示一些较大的数．

12．如图，设P为△ABC外一点，P在边AC之外，在∠B之内．．且△ABC三边a、b、c上的高分别为、、，则P点到三边的距离之和为________．

【分析】首先设P到三边的距离分别为、、，，，，根据“同底三角形的面积比等于高的比”，可求得、、的值，即可得到答案．
【解答】解：设P到三边的距离分别为、、，，，，则

∴　
∴　
同理可得：，
∴　
故答案为：8．
【点评】此题考查了同底三角形的面积比等于高的比的性质．解题的关键是注意识图，合理应用数形结合思想．

13．已知A、B、C、D四人的体重均为整数千克，其中A最轻，其次是B、C、D，以他们中的每两人为一组称得的体重如下（单位：千克）：45、52、55、57、60、67．则D的体重为________千克．
【分析】因为A、B、C、D依次体重增加，最重的是，然后是、、、、，相对应数据求结果．
【解答】解：由题意，得
，，，，，
∴　，，
∴　
∵　
∴　
∴　
∴　，解得：
故答案为：36．
【点评】本题考查理解题意能力，应该能根据体重的轻重知道体重和是谁和谁相加得到的．

14．已知，，则________．
【分析】根据，可得，变形得，显然，两边同除以a即可得解．
【解答】解：∵　，
∴　
∴　
∵　
∴　
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的运算，解题关键是能根据题意进行分式变形．

15．在锐角△ABC中，∠A＝55°，，则∠B的取值范围是________________．
【分析】当BC最短时，∠B一定大于当AB是斜边时，∠B的度数；∠B的度数一定小于当BC＝AB时，∠B的度数．据此即可求解．
【解答】解：当BC最短时，BC⊥AC，此时
当BC最长时，BC＝AB，此时
∵　锐角△ABC中，
∴　
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形的边角关系，正确理解∠B的范围的确定方法是解决本题的关键．

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）解关于x的方程：．
【分析】首先分与两种情况考虑，当时，根的判别式时，利用求根公式求出解；根的判别式时，方程无解．
【解答】解：（1）当时，原方程就是
，解得：
（2）当时，原方程是一元二次方程，
① 当，时，
② 当，时，方程无解
【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

17．（12分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？（参考数据：，，，）

【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设，用含有x的式子表示AC、BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设

在Rt△APC中，
∴　
在Rt△PCB中，
∴　
∵　从上午9时到下午2时要经过五个小时
∴　
∴　，解得：
∵　
∴　
答：海检船所在B处与城市P的距离约为100海里 ．
【点评】本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

18．（12分）第24届冬奥会将在2022年2月4日在我国北京举办，这是我国又一次举办的盛会．现有8名志愿者，其中志愿者、、通晓英语，、、通晓日语，、通晓法语．从中选出通晓英语、日语和法语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和至少有一个被选中的概率．
【分析】（1）先用列举法，求出从8人中选出英语、日语和法语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解；
（2）列出和至少有一个被选中的基本事件个数，代入古典概型公式，即可求解．
【解答】解：从8人中选出英语、日语和法语志愿者各1名，其一切等可能的结果为：
（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）
（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）
（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）
（1）共18种等可能的结果，其中选中的有6种
∴　
（2）共18种等可能的结果，其中选中或的有12种
∴　
【点评】本题考查的知识点是古典概型，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．属于中档题．

19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10cm，OC＝6cm，现有两动点M、N分别从O、A同时出发，点M在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点N在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点M的运动速度为1cm/s．
O
x
C
y
B
A
N
M

（1）设点N的运动速度为0.5 cm/s，当△COM和△MAN相似时，求点N的坐标；
（2）当△COM与△MAN与△CBN这三个三角形相似时，求点N的运动速度v．
【分析】设运动时间为t秒．
（1）利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出N点的坐标；
（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于v、t的二元一次方程组即可．
【解答】解：设运动时间为t（s），则，
（1）当点N的运动速度为0.5 cm/s时，
如果△COM和△MAN相似，则有两种情况：
① 当△COM∽△MAN时，
∴　，解得：（不合题意，舍去），
∴　
∴　N点的坐标是（10，3.5）
② 当△COM∽△NAM时，
∴　，解得：（不合题意，舍去），
∴　
∴　N点的坐标是（10，）
综上，当△COM和△MAN相似时，点N为（10，3.5）或（10，）
（2）如图：，
① 如图，当∠1＝∠3＝∠4时，△COM∽△MAN∽△CBN
∴　
∴　
∴　，解得：，（舍去）
∴　（cm/s）
② 当∠1＝∠3＝∠5时，∠CMN＝∠CNM＝90°，与三角形内角和定理矛盾，舍去
O
x
C
y
B
A
N
M
1
2
3
4
5

③ 如图，当∠1＝∠2＝∠4时，△COM∽△NAM∽△CBN
∴　
∴　
∴　，此方程无解，舍去
④ 当∠1＝∠2＝∠5时，与矛盾，舍去
综上，当△COM与△MAN与△CBN这三个三角形相似时，点N的运动速度 cm/s
【点评】本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．

20．（12分）已知关于x的一元二次方程（）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于1、2、3、…、2019时，相应的一元二次方程的两根分别为和、和、和、…、和，求的值．
【分析】（1）令，由于，故当时，，根据抛物线与x轴的交点位置即可判断；
（2）利用韦达定理可得：，；，；，，而原式，再用裂项法进行求和．
【解答】解：（1）证法一：令
∵　
∴　当时，
∴　抛物线与x轴的交点位于点（2，0）的两侧
∴　方程的一根大于2，一根小于2
证法二：设关于x的一元二次方程（）的两根为、（其中），则
，
∴　
∴　，
∴　方程的一根大于2，一根小于2
（2）由题意，得
，
，
，
…
，
∴　

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，韦达定理以及用裂项法进行数列求和，体现了转化的数学思想，属于基础题．

21．（12分）定义：在直角坐标系中，两个函数图象的交点坐标是这两个函数表达式联立方程组的解．
如图所示，已知一次函数（k存在，）的图象与二次函数的图象交于A、B两点，分别过A、B两点向x轴作垂线，垂足分别为C、D．
A
y
x
E
°
C
D
B

（1）求证：无论k为何值时，为定值，并求出该定值；
（2）设△OAB的面积为S，△OAC、△OBD的面积分别为、，若，求此时k的值．
【分析】设A（，），B（，），其中．
（1）因为，，故，再化交点方程组为关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可解决问题；
（2）先化交点方程组为关于x的一元二次方程，利用韦达定理可得，；根据可得，而，代入计算得解．
【解答】解：设A（，），B（，），其中，则，
（1）证明：∵　直线与抛物线交于A、B两点
∴　 ①
消去x，得

∴　
∴　无论k为何值时，为定值，该定值为4
（2）将方程组①消去y，得

∴　，
在中，令，则
∴　E（0，2），
∴　，，
∵　
∴　
∴　，解得：
【点评】本题主要考查了直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系、三角形的面积公式等知识，熟练运用完全平方公式的变形是解决第（2）小题的关键．
第11页，共11页