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第九章多元函数微分学(1-4).doc
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1、习题9 1 1指出下列平面点集中,那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域?并分别求其聚点和边界点:(1);(2);(3);(4)解(1)为有界开区域;聚点为集合,边界点为集合;(2)为无界的开区域;聚点为集合,边界点为集合;(3)为有界闭区域;聚点集合为该区域上所有点,边界点集合为三个直线段与及的并集;(4)为有界连通集合;聚点为,边界点为圆弧及圆弧的并集2证明:点为点集的聚点的充分必要条件是点的任意邻域内都至少含有一个点集中异于的点证明:“”由聚点的定义即可得;“”取(其中表示点与点的距离),则,记,则,依此类推,由数学归纳法可知对于每个正整数,均可取到点,由此可得一个两两均不相
2、同的点列,若,因,则使得,那么当时必有,即在中比含有集合的无穷多个点,因此点为点集的聚点3求下列各函数值:(1)设,求;(2)设,求;(3)设,求;(4)设,求;(5)设,求解(1);(2);(3);(4);(5)设,4设,若当时,求函数及的表达式解由题设有,令,则,所以有,相应的有5求下列函数的定义域:(1);(2);(3);(4)解(1);(2);(3);(4)习题9 21证明:证明,因为,取,当时,则有,因此有2求下列极限:(1);(2);(3);(4)解 (1)原式;(2)原式;(3)原式;(4)原式3证明下列极限不存在:(1);(2)解(1)当取点沿曲线趋于点时则有,取值不同,则该极
3、限值不同,因此该极限不存在;(2)当取点沿直线趋于点时则有,而当取点沿直线趋于点时则有,因沿不同方向取极限,则该极限值不同,故该极限不存在4讨论下列函数的连续性:(1);(2)(3)(4)解(1)函数的定义域为,它在内处处连续,抛物线上的点均为它的间断点;(2)函数在全平面内处处有定义,它在区域内处处连续,由于不存在,故是它的间断点;(3)当时,函数显然是连续的,又,所以它在处也连续,因此该函数在全平面内处处连续;(4)函数的定义域为,在定义域内处处连续,在球面及上函数间断5设二元函数在有界闭区域上连续,点,证明至少存在一点,使得证明令,则有,由此可得,即(1)若,则,取即可;(2)若,则有,
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