数学理卷·2015届陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校高二下学期第二次月考.doc

2013-2014—2高二年级（2）
数 学 试 题

【试卷综析】试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查,并达到了必要的深度，且都是从中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发,在知识的交汇点处设计命题，解答题实行了分步把关,层层递进，让不同层次的同学都能展示自身的综合素质和综合能力，推动中学素质教育向纵深发展。
一、选择题：(每小题3分,共36分）
1、设随机变量X服从正态分布，则等于（ ）
A B C D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【答案解析】D 解析 ：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于ξ=0对称，
∵P(ξ＞1.3)=p,∴P（0＜ξ＜1.3）=
∴P（-1.3＜ξ＜0)=,故选D．
【思路点拨】根据随机变量ξ服从正态分布N（0,1），得到正态曲线关于ξ=0对称,根据对称轴一侧的数据所占的概率是0。5，做出
P（0＜ξ＜1。3)，根据对称性做出结果．
【典型总结】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是看出正态曲线的对称轴，根据对称性做出结果．
2、方程表示的曲线是( ）
(A） 直线。 (B) 一条射线。 (C） 两条射线. (D） 线段.
【知识点】参数方程转化为普通方程.
【答案解析】B 解析 :解：因为，所以x+1=y-1,即y=x+2，又因为，即，故y=x+2 ，表示的曲线是一条射线.故选B。
【思路点拨】把转化为普通方程y=x+2，结合定义域即可。
3、只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有（ ）
A 6 个 B 9个 C 18个 D 36个
【知识点】计数原理.
【答案解析】C 解析 :解：由题意知，本题需要分步计数
1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．
第一步确定谁被使用2次，有3种方法；
第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法；
第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法．
故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．
故选C
【思路点拨】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,相乘得结果．
【典型总结】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题,这种题目做起来限制条件比较多,需要注意做到不重不漏．
4、在4次独立重复试验中,随机事件恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件在一次试验中发生的概率的取值范围( )
A B C D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；不等关系与不等式．
【答案解析】A 解析 :解：事件A在一次试验中发生的概率为p，
∴由条件知C41p（1—p)3≤C42p2（1—p）2，
解得p≥0。4，故选A．
故选 A
【思路点拨】随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，根据题目所给的这个条件，列出不等式，解出范围.
5、已知随机变量，若,则分别是( )
A 6和2.4 B 2和2。4 C 2和5.6 D 6和5。6
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【答案解析】B 解析 ：解：∵ξ~B（10，0。6)，
∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0。6×0。4=2.4，
∵ξ+η=8，
∴Eη=E（8—ξ）=2，Dη=D（8—ξ）=2。4
故选B．
【思路点拨】根据变量ξ～B（10，0。6）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量ξ+η=8，知道变量η也符合二项分布,故可得结论．
【典型总结】本题考查变量的极值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．
6、在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（ ）
A B C D
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；圆的切线方程．
【答案解析】B 解析 ：解：ρ=4sinθ的普通方程为：
x2+(y—2)2=4，
选项B的ρcosθ=2的普通方程为x=2．
圆x2+（y-2）2=4与直线x=2显然相切．
故选B．
【思路点拨】把极坐标转化为直角坐标．即利用ρ2=x2+y2,ρsinθ=y，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可．
7、的展开式中的系数是（ ）
A 16 B 70 C 560 D 1120
【知识点】二项式系数的性质．
【答案解析】D 解析 ：解:令3k—8=4解得k=4
∴
故选D
【思路点拨】先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式令x的指数为4，求出x4的系数即可．
8、2个男生和5个女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻,则不同的排法总数为( ）
A 480 B 720 C 960 D 1440
【知识点】计数原理的应用．
【答案解析】C 解析 ：解：把2名女生看成1个元素,和5个男生可作6个元素的全排列,
又2名女生的顺序可调整,共有种方法，
去掉其中女生在两端的情形共种,
故总的方法种数为:=960
故选C
【思路点拨】捆绑法：把2名女生看成1个元素,和5个男生可作6个元素的全排列，去掉其中女生在两端的情形，可得总的方法种数为:,计算可得．
9、某饮料店的日销售收入（单位：百元)与当天平均气温（单位：）之间有下列数据:

—2
-1
0
1
2

5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究,分别得到了与之间的四个线性回归方程，其中正确的是（ ）
A B C D
【知识点】回归直线方程。
【答案解析】A 解析 :解：由题意知
∵线性回归方程过这组数据的样本中心点，
∴点（0，2。8）满足线性回归方程，
故选 A．
【思路点拨】由样本数据可得,利用点（0，2。8)满足线性回归方程，即可得出结论．
10、当抛掷5枚硬币时，已知至少出现两个正面，则刚好出现3个正面的概率为（ ）
A B C D
【知识点】等可能事件的概率。
【答案解析】A 解析 :解：抛掷5枚硬币共出现种结果，都出现反面有1种结果，出现一个反面有5种结果，所以至少出现两个正面有32—1—5=26种结果，在这26种结果中刚好出现3个正面的种数是,所以则刚好出现3个正面的概率为，故选A.
【思路点拨】先用间接法求出至少出现两个正面结果数，再求得刚好出现3个正面的种数，计算比值即可。
11、 位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是,质点移动五次后位于点的概率是（ )
A． B． C． D．
【知识点】等可能事件．
【答案解析】B 解析 ：解:质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，
因此质点P移动5次后位于点（2,3)的概率为=
故选B
【思路点拨】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，因此质点P移动5次后位于点(2,3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．
12、设曲线的参数方程为(为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（ )
A、1 B、2 C、3 D、4
【知识点】圆的参数方程．
【答案解析】B 解析 ：解：化曲线C的参数方程为普通方程：（x—2）2+（y+1)2=9，
圆心（2,-1)到直线x—3y+2=0的距离
直线和圆相交,过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求,
又
在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，故选B．
【思路点拨】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数．
二、填空题：（每题4分,共16分)
13、若直线（为参数）与直线（为参数)垂直，则 ．
【知识点】直线的参数方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【答案解析】—1 解析 ：解：∵直线（t为参数）
∴
直线（s为参数）∴2x+y=1，
∵两直线垂直， ∴×（−2)＝−1,得k=-1．故答案为-1．
【思路点拨】将直线（为参数）与直线（为参数）化为一般直线方程,然后再根据垂直关系求解．
14、为了判断高二学生选择文理是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表

理科
文科
男
13
10
女
7
20
若,
根据计算公式
则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性为___________
【知识点】独立性检验的应用。
【答案解析】0。05 解析 ：解：：∵根据表中数据，得到X2的观测值Χ2＝
4。844＞3。841，
由于P（X2≥3。841）≈0。05，
∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为0.05．
故答案为：0.05．
【思路点拨】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4。844＞3.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为0.05．
15、 是曲线上的动点，则的最大值是_________
【知识点】椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系．
【答案解析】 解析 :解：由椭圆，设设x＝5cosθ，y=4sinθ,
∴=2cosθ+3sinθ
=
∴的最大值为．
故答案为．
【思路点拨】由椭圆，设x＝5cosθ，y=4sinθ,利用两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出．
16、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。
①； ②； ③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件; ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【知识点】相互独立事件；互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．
【答案解析】②④ 解析 :解:由题意A1,A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）= ，
P（A2)= ，P（A3)=
P（B|A1）=
，由此知，②正确
P（B｜A2）= ，P(B|A3）= ，
而P（B）=P(B|A1）+P（B｜A2）+P(B｜A3）
由此知③不正确,⑤不正确
A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知④正确
对照四个命题知②④正确
【思路点拨】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（B|A1）+P(B|A2）+P(B|A3）,对照五个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项.
三、解答题(共48分）
17、（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为(t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为。
（Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。
【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程．参数方程化成普通方程;两点间的距离公式．
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析 ：解：（Ⅰ）由得即—-—-—4分
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得，-——--6分
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以-——--——-—-—-8分
故由上式及t的几何意义得： |PA|+|PB|==。———-——-—-—10分

【思路点拨】（Ⅰ）由得 整理即可（Ⅱ）先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程代入，利用参数的几何意义即可求出．
18、（本小题满分12分）设，，
（1）当时，，求。
（2)当时，展开式中的系数是20，求的值.
（3）展开式中的系数是19，当，变化时，求系数的最小值.
【知识点】赋值法；二项展开式；二项式定理;
【答案解析】(1）128（2)5 （3） 当或时， 的系数最小值为81
解析 ：解：（1）赋值法：分别令，,得………3分
（2），……………………………………………7分
（3），的系数为：

所以，当或时，展开式中的系数最小值为81。…12分
【思路点拨】(1)利用赋值法代入即可；(2）由已知得解方程即可；（3），的系数为：，当或时，展开式中的系数最小值为81。
19、（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【答案解析】(Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为

1
2
3

.

解析 ：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则,，，
该选手被淘汰的概率

．-—---—------—---6分
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．-——————--—--—---—9分
的分布列为

1
2
3

--—-————--—-——---—-—--12分

【思路点拨】(Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i—1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．
【典型总结】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．
20、（本小题满分14分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（Ⅰ）若袋中共有10个球,(i）求白球的个数；(ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望.
(Ⅱ)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件．
【答案解析】（Ⅰ)（i)白球有5个;（ii）;(Ⅱ）袋中红球个数最少．
解析 :解：（Ⅰ)解：(i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为,则，
得到．故白球有5个．—-——--——---—----—4分
(ii）随机变量的取值为0，1,2，3，分布列是

0
1
2
3

的数学期望
．——---——--—-—--—-——9分
(Ⅱ)证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得,
所以,，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球"为事件B，则
．-—----—-—--—-—---12分
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．————-—----———---—-—14分
【思路点拨】(Ⅰ）（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，利用对立事件的概率计算公式能求出白球有5个．
（2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3,分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．．
（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得 ，由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
附加题（7、8班必做，其他班选做。）
（本小题满分10分）已知函数(），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性;
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
(Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【知识点】利用导数求单调区间；导数与极值；不等式恒成立。
【答案解析】（Ⅰ）在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）（Ⅲ）
解析 ：解:(Ⅰ）解：．--—-——-——------1分
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：

0

2

－
0
＋
0
－
0
＋

↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在,内是增函数，在，内是减函数．----———--——--3分
（Ⅱ)解：,显然不是方程的根．
为使仅在处有极值,必须成立，即有．
解此不等式,得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．—-—--—-—-—-—-—--—6分
(Ⅲ)解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时,．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即,在上恒成立．
所以,因此满足条件的的取值范围是．———--—---—-—--10分
【思路点拨】（Ⅰ）由已知得．
当时，．
令，列表判断．
（Ⅱ)，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值,必须成立，即有．
解此不等式即可（Ⅲ）由条件，可得恒成立．即，在上恒成立即可．