实数与实函数.doc
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1、第一讲实数与实函数 1 . 1 实数与实函数的基本概念一实数实数包括有理数和无理数有理数,就是能够表示成形式的数,其中 p 是整数, q是不为零的整数如果用小数表示,有理数都可以表示成有限小数,或无限循环小数无理数,就是不能表示成形式的数,也就是无限不循环的小数如果将有限小数也表示成无限小数,例如:数 1 可表示为 1=1.000 ;也可以表示为 l=0.999 (注:这是实无限的观点),为唯一性起见,数学上作了一个约定,就是不以零为循环节数 1 约定的表示为l=0.999,因此,实数就是一个可以用无限小数表示的数二、实数的性质 1 实数集合 R 是一个阿基米德有序域 ( 1 )在实数集合 R
2、 上定义加法“ + ”和乘法“ ”两种运算,对两种运算分别满足交换律、结合律,以及乘法关于加法的分配律;对加法,有“零元”和“负元”;对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”. ( 2 )在集合 R 上定义了一种序关系“ ,且满足传递性:即对 ,若 a b , b c ,则 a c;三歧性:即对 ,关系 a b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性:对 R 中的任意两个正数 a , b ,必存在自然数 n ,使得 na b. 2 实数集合 R 是一个完备集定义1.1(距离空间)设 X 是一个集合,定义映射,满足( 1 )非负性:对 ( 2
3、 )对称性: ;( 3 )三角不等式:;则称是点集 X 上的一个距离如果 X 是一个线性空间,称是一个距离空间 。在实数集 R 上定义距离(可以验证满足定义中的三条),则是一个距离空间定义 1 . 2 设是距离空间中的点列,若对,当 m , n N 时,恒有,则称是 X 中的柯西列定义 1 . 3 若距离空间 X 中的任意柯西列都在 X 中收敛,则称 X 是完备的距离空间由柯西收敛准则很容易知道,作为距离空间的实数集 R 是完备的有 6 个刻划实数集 R 完备性的且彼此等价的定理,它们分别是 ( 1 )确界原理:设 S 是非空数集若 5 有上界则 S 必有上确界;若 S 有下界,则 S 必有下
4、确界( 2 )单调有界原理:单调有界点列(函数)必存在极限 ( 3 )区间套定理:若是一个区间套,则存在唯一的实数,使得 ,即 。( 4 )有限覆盖定理:设 H 是对闭区间巨,习的一个任意开覆盖,则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 ( 5 )聚点定理:实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点推论(致密性定理):有界点列必有收敛子列 ( 6 )柯西收敛准则:数列收敛的充要条件是数列是柯西列关于上述六个定理的等价性证明可参考文献三、关于实数点集的一些重要概念1 有界点集 S 是一实数点集,若使对恒有,则称 S 是有界点集 2 无界点集 S 是一实数点集若对,使得,则称 S 是无界点集 3 有
5、界函数 f ( x )是定义在点集 I 上的函数,若使对 恒有,则称f ( x )在I上有界 4 无界函数 f ( x )是定义在点集 I 上的函数,若对 ,使得 则称 f ( x )在 I 上无界、例 1 . 1 证明函数在上无界证明:对 , 使得故在( 0 , 1 )上无界。5 上确界设 E 为一个实数点集, a为一是实常数,若满足: 对 ,恒有(即为 E 的上界); 对,存在 ,使得。(即是 E 的最小的上界),则称为 E 的上确界,记作 6 下确界设 E 为一个实数点集,为一是实常数,若满足: 对,恒有(即为E 的下界); 对,存在两,使得(即是 E 的最大的下界),则称为 E 的下确
6、界,记作注:点集 E 的上确界或下确界可以属于 E ,也可以不属于E命题( 1 ) ,则 ( 2 ),则. 证明显然,请读者自证例 1 . 2 设A、B皆为非空有界集,定义数集 证明: ( 1 ) sup ( A + B ) = supA + SupB ; ( 2 ) inf ( A + B )= InfA + infB . 证明: ( 1 )由已知, A 、 B 非空有界,可知 A +B 也是非空有界集根据确界原理,它们的上、下确界都存在对 ,由定义,存在 及使得 即实数 supA 十 supB 是数集 A +B 的上界;又对,使得,记则:由定义可得 sup ( A + B )= SupA
7、+ supB ( 2 )证明与( 1 )类似,从略例 1 . 3 设 f 在区间 I 上有界记 证明:证明:对,有则 又对,使得 可得由式,式可知7.聚点定义 1 . 4 (点集的聚点):设 E 是一个点集,是一个点,若在的任意邻域内都含有 E 的无穷多个点,则称为点集 E 的聚点命题 设 E 是一个点集,是一个点,下列说法等价: ( 1 )为点集 E 的聚点 ( 2 )在的任意邻域内都含有 E 的异于的一个点 ( 3 )在 E 中存在互异的点列使得证明: (1)(2 ) 显然(2) (3) 取 ,在)内,取,在内,一般地,取在内, 显然E ,且是互异的,同时显然有 ( 3 ) ( 1 ) 对
8、 , ,当 n N 时,注意到,即为点集 E 的聚点注: ( 1 )从定义可知,有限点集必无聚点 ( 2 )点集 E 的聚点可以属于 E ,也可以不属于 E 例如,设 A 是开区间( 0 , 1 )中的所有有理点所构成的集合,则闭区间中的所有点都是 A 的聚点定义 1 . 5 (点列的聚点):设是一个点列,是一个点,若在的任意邻域内都含有的无穷多项,则称为点列的聚点注意:点集的聚点与点列的聚点不同,例如=作为点列,它有两个聚点:-1 和1 ,但是如果把它们看做点集,则它是一个仅含有两个元素的集合,无聚点把点列的最大(小)聚点,叫做点列的上(下)极限,分别记作和 8.覆盖设是一个开区间集,其中是
9、一个指标集,是开区间设 I 是一个点集,如果对 ,总存在 ,使得,称 H 覆盖了 ,或称 H 是 I 的一个开覆盖如果 H 是有限集而覆盖了 I ,则称 H 是 I 的一个有限开覆盖;如果 H 是一个无限集合而覆盖了 I ,则称 H 是 I 的一个无限开覆盖前面提到的有限覆盖定理,是一个十分重要的定理它可以推广到一般的距离空间上去,这里就不多说了例 1 . 4 是单调数列,证明:若存在聚点,则必是唯一的,且是的确界证明:不妨设是单调递增数列假设 A , B 都是它的一个聚点,且不等不妨设,由聚点的定义,取,在,含有的无穷多项,假设,则,又根据是单调递增的,当时,即在 U内至多含有的有限项,与
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