常微分方程复习资料.doc

常微分方程复习资料

一、 填空题

1．一阶微分方程的通解的图像是　　 　　维空间上的一族曲线．
2．方程的基本解组是 ．
3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
4．方程的常数解是 ．
5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
6．若在上连续，则方程的任一非零解
与轴相交．
7．在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切．
8．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，．
9．方程所有常数解是　　 　　．
10．方程的基本解组是 ．
11．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
12．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
二、单项选择题
1．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．
（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面
2．连续可微是保证方程解存在且唯一的（ ）条件．
（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分
3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性
4．方程过点(0, 0)有（ 　）．
(A) 无数个解　　　　(B) 只有一个解 　(C) 只有两个解　　　(D) 只有三个解
5．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．
（A）维 （B）维 （C）维 （D）维
6. 方程（ ）奇解．
（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个
7．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
8．连续是方程初值解唯一的（ ）条件．
（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分
9．方程的奇解是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
10. 方程过点共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
11．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
13．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定
三、计算题
求下列方程的通解或通积分：
1. 2.
3. 4．
5． 6.
7. 8.
9． 10．
11. 12.
13. 14．
15． 16．求方程的通解．
17．求下列方程组的通解．
18．求方程的通解．
19．求下列方程组的通解
．
五、证明题
1．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．
2．在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．
3．设在整个平面上连续可微，且．求证：方程
的非常数解，当时，有，那么必为或．
4．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．
5．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．
6．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．
参考答案
一、填空题
1．2 2． 3．开 4． 5．平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． 10．11．，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有
二、单项选择题
1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B 11.A 12.C 13.D
三、计算题
1．解 当，时，分离变量取不定积分，得

通积分为

2．解 令，则，代入原方程，得

分离变量，取不定积分，得
（）
通积分为：
3．解方程两端同乘以，得

令 ，则，代入上式，得

通解为

原方程通解为

4．解 因为，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
5．解 原方程是克莱洛方程，通解为

6．解 当时，分离变量得

等式两端积分得

即通解为

7．解 齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
8．解 由于，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
9．解 令，则原方程的参数形式为

由基本关系式

积分有

得原方程参数形式通解

10．解 原方程为恰当导数方程，可改写为

即

分离变量得

积分得通积分

11．解 令，则，代入原方程，得
，
当时，分离变量，再积分，得

即通积分为：
12．解 齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
13．解 积分因子为

原方程的通积分为

即 ）
14．解 令，则原方程的参数形式为

由基本关系式 ，有

积分得
得原方程参数形式通解为

15．解 原方程可化为

于是
积分得通积分为

（6分）
16．解 对应齐次方程的特征方程为，
特征根为，，
齐次方程的通解为
因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，比较系数确定出
，，
原方程的通解为

17．解 先解出齐次方程的通解

令非齐次方程特解为

满足

解得
积分，得 ，
通解为

18．解对应的齐次方程的特征方程为：

特征根为：
故齐次方程的通解为：
因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，有 ， 可解出 ．
故原方程的通解为
19．解方程组的特征方程为

即
特征根为 ，
对应的解为

其中是对应的特征向量的分量，满足

可解得．
同样可算出对应的特征向量分量为 ．
所以，原方程组的通解为

五、证明题
1．证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为

取极限

=
2．证明 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在 上有定义，且．又由刘维尔公式
，

由于，，于是对一切，有
或
故 是上的严格单调函数．
3．证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分）
又由已知条件，知是方程的一个解。
假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展．这样，过点就有两个不同解和．这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值．
4．证明 如果和是二阶线性齐次方程

的解，那么由刘维尔公式有

现在，故有

5.证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然 是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．
6．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．
显然，该方程有零解．
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾．

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