常微分方程复习资料.doc
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1、常微分方程复习资料一、 填空题1一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线2方程的基本解组是 3一个不可延展解的存在在区间一定是 区间4方程的常数解是 5方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 6若在上连续,则方程的任一非零解 与轴相交7在方程中,如果,在上连续,那么它的任一非零解在平面上 与轴相切8向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式,9方程所有常数解是 10方程的基本解组是 11方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 12若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共同零点二、单项选择题1方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( )(A)上半平面 (B)x
2、oy平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面2连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件(A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分3二阶线性非齐次微分方程的所有解( )(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性4方程过点(0, 0)有( )(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解5阶线性齐次方程的所有解构成一个( )线性空间(A)维 (B)维 (C)维 (D)维6. 方程( )奇解(A)有三个 (B)无 (C)有一个 (D) 有两个7若,是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程
3、的通解可用这两个解表示为( )(A) (B) (C) (D)8连续是方程初值解唯一的( )条件(A)必要 (B)必要非充分 (C)充分必要 (D)充分9方程的奇解是( )(A) (B) (C) (D)10. 方程过点共有( )个解(A)一 (B)无数 (C)两 (D)三11阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个(A) (B)-1 (C)+1 (D)+212一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( )(A)不是其对应齐次微分方程组的解 (B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解 (D)是非齐次微分方程组的通解13如果,都在平面上连续,那么方程的任一解的存在区间(
4、 )(A)必为 (B)必为 (C)必为 (D)将因解而定三、计算题求下列方程的通解或通积分:1. 2. 3. 45 6. 7. 8. 9 1011. 12. 13. 14 15 16求方程的通解17求下列方程组的通解 18求方程的通解19求下列方程组的通解 五、证明题1设在上连续,且,求证:方程的一切解,均有2在方程中,在上连续,求证:若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数3设在整个平面上连续可微,且求证:方程的非常数解,当时,有,那么必为或4设和是方程的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式,其中为常数5在方程中,已知,在上连续,且求证:对任意和,满足初值条件的解的
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