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重点高中自招必备-九年级-专题24-平面几何的定值问题.doc
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1、初中自招必备领先一步专题24 平面几何的定值问题【阅读与思考】 所谓定值问题,是指按照一定条件构成的几何图形,当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时,与它有关的元素的量保持不变(或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变). 几何定值问题的基本特点是:题设条件中都包含着变动元素和固定元素,变动元素是指可变化运动的元素,固定元素也就是“不变量”,有的是明显的,有的是隐含的,在运动变化中始终没有发生变化的元素,也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是:1.探求定值;2.给出证明.【例题与求解】【例1】 如图,已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点.求证:为定值.解题思路:线段
2、的和差倍分考虑截长补短,利用圆的基本性质,证明三角形全等. 【例2】 如图,AB为O的一固定直径,它把O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CDAB,OCD的平分线交O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P( ) A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C点的移动而移动(济南市中考试题)解题思路:添出圆中相关辅助线,运用圆的基本性质,用排除法得出结论. 【例3】 如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足.求证:不管ST滑到什么位置,SPM是一定角.(加拿大数学奥林匹克试题)解题思路:不管ST滑到什么位置,S
3、OT的度数是定值.从探寻SPM与SOT的关系入手. 【例4】 如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角AOB=90.点C是上异于A,B的动点,过点C作CDOA于点D,作CEOB于点E.连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE.(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;(2)当点C在上运动时,在CD,CG,DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;(3)求证:CD2+3CH2是定值. (广州市中考试题)解题思路:延长OG交CD于N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质,实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系,再以RtOND为基础,通过勾股定理,使问题得以解决
4、. 【例5】 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点.若点A的坐标为(-2,0),AE=8.(1)求点C的坐标;(2)连接MG,BC,求证:MGBC;(3)如图2,过点D作M的切线,交x轴于点P.动点F在M的圆周上运动时,的比值是否发 生变化?若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. (深圳市中考试题) 解题思路:对于(3)从动点F达到的特殊位置时入手探求定值. (图1) (图2)【例6】 如图,已知等边ABC内接于半径为1的圆O,P是O上的任意一点.求证:PA2+PB2+PC2为定值. 解题思路:
5、当点P与C点重合时,PA2+PB2+PC2=2BC2为定值,就一般情形证明.【能力训练】A级1.如图,点A,B是双曲线上的两点,分别经过A,B两点向x轴,y轴作垂线段.若S阴影=1,则_.(牡丹江市中考试题) (第1题图) (第3题图) (第4题图)2.从等边三角形内一点向三边作垂线段,已知这三条垂线段的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是_.(全国初中数学联赛试题)3.如图,OA,OB是O任意两条半径,过B作BEOA于E,又作OPAB于P,则定值OP2+EP2为_.4.如图,在菱形ABCD中,ABC=120,F是DC的中点,AF的延长线交BC的延长线于点E,则直线BF与直线DE所夹的
6、锐角的度数为( )A.30 B.40 C.50 D.60(武汉市竞赛试题)5.如图,在O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AB,且=AP,=BP.连接,当点P从点A移动到点B时,的中点的位置( )A在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动 D.保持固定不移动(荆门市中考试题) (第5题图) (第6题图)6.如图,A,B是函数图象上的两点,点C,D,E,F分别在坐标轴上,且分别与点A,B,O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6,则长方形OEBF的面积是( )A.3 B.6 C.9 D.12(海南省竞赛试题)7.(1)经过O内或O外一点P作两条直线交
7、O于A,B和C,D四点,得到如图所表示的六种不同情况.在六种不同情况下,PA,PB,PC,PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子,然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.(2)已知O的半径为一定值r,若点P是不在O上的一个定点,请你过点P任作一直线交O于不重合的两点E,F. PEPF的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来.(济南市中考试题)8.在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,点O在原点,现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线上时
8、停止旋转.旋转过程中,AB边交直线于点M,BC边交x轴于点N.(1)求OA在旋转过程中所扫过的面积;(2)旋转过程中,当MN与AC平行时,求正方形OABC旋转度数;(3)设MBN的周长为P,在正方形OABC旋转的过程中,P值是否有变化?请证明你的结论.(济宁市中考试题)9.如图,AB是半圆的直径,ACAB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DECD,交直线AB于点E,BFAB,交线段AD的延长线于点F.(1)设弧AD是x的弧,若要点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是_.(2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除ABAC外,还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段,并予证明.(江苏省竞赛试
9、题) (第9题图) (第10题图) (第11题图)10.如图,内接于O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,设O的半径为R.求证:(1)是定值;(2)是定值.11.如图,设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点,求证:的值为定值.(克罗地亚数学奥林匹克试题)B 级1. 等腰ABC的底边BC为定长2,H为ABC的垂心.当顶点A在保持ABC为等腰三角形的情况下 改变位置时,面积SABCSHBC的值保持不变,则SABCSHBC=_.2.已知A,B,C,D,E是反比例函数(x0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形边长为半径作四
10、分之一圆周的两条弧,组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分),则这五个橄榄形的面积总和是_(用含的代数式表示).(福州市中考试题)3.如图,将六边形ABCDEF沿直线GH折叠,使点A,B落在六边形ABCDEF的内部,记CDEF,则下列结论一定正确的是( ) A. 129002 B. 1210802 C. 12720 D. 12360(武汉市竞赛试题)(第3题图) (第4题图)4.如图,正ABO的高等于O的半径,O在AB上滚动,切点为T,O交AO,BO于M,N,则弧MTN( ) A.在0到30变化 B.在30到60变化 C.保持30不变 D.保持60不变5.如图,AB是O的直径,且AB=10,弦MN
11、的长为8.若MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A,B到MN的距离分别为h1,h2,则h1-h2等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8(黄石市中考试题)(第5题图) (第6题图)6.如图,已知ABC为直角三角形,ACB=90,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.(1)求点A的坐标(用m表示)(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F.试证明:FC(AC+EC)为定值.(株洲市中考试题)7.如图,已知等边ABC内接
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