高三理科数学试题(3).doc

六校尖子班联考理科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合则 （ ）
A． B．{ 1 } C． D．
2. 复数 （ ） A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是 ( )
B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．已知双曲线则p的值为 （ ）
A．－2 B．－4 C．2 D．4
5．已知函数则下列判断正确的是
A．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为
B．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为
C．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为
D．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为
6. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 （ ）
A．3　　　 B．4 C．　　 　　D.
7．若直线、b〉0）始终平分圆的周长，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知A,B,C,D是同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离为( )
A. B. C. D.
9. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 （ ）
A． B． C． D．
10. 在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，则n的取值集合为 ( )
A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6}
11.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

12.函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知二项式展开式的第4项与第5项之和为零，那么等于 .
14．一个圆柱形容器的内半径为5cm,两个直径为5的玻璃小球被浸没于容器的水中,当取出这两个小球后, 容器的水面下降了x cm, 则x= .
15. 已知两个不相等的实数满足以下关系式：
，
则连接A、 B两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是_________．
16. 设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．
17．(本题满分12分)中内角A，B，C的对边分别为，向量，且
(1)求锐角B的大小；(2)如果b=2，求的面积的最大值

18．(本小题12分)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求ξ的分布列和数学期望；

19. （本小题满分12分）
在正方体中，为的中点，为的中点，AB=2．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

20. （本小题12分）
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求函数y=的图像在点处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式的解集为P，且，求实数的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，圆的直径，弦于点，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）延长到，过作圆的切线，切点为，若
，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标程为，
曲线、相交于点、．
（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦的长．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式．
（Ⅰ）如果不等式当时恒成立，求的范围；
（Ⅱ）如果不等式当时恒成立，求的范围．

六校尖子班联考理科数学答案
一、 选择题：1. B 2．C3．C 4.D 5.C 6.B 7.A 8. C 9. D 10.A 11.C 12.D
二、 填空题：13.2 14.；15. 相交16.
解答题：
17.(理)
解：(1)m∥n Þ
Þ2sinBcosB＝－cos2B Þ tan2B＝－ ……4分
∵0＜2B＜π,∴2B＝3(2π),∴锐角B＝3(π) ……6分
(2)由tan2B＝－ Þ B＝或————————7分
①当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立) ……9分
∵△ABC的面积
∴△ABC的面积最大值为 ……10分
②当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋ac≥(2＋)ac (当且仅当a＝c=时等号成立)
∴ac≤4(2－) ……11分
∵△ABC的面积S△ABC＝2(1) acsinB＝4(1)ac≤2－
∴△ABC的面积最大值为2－ ……12分

18 (1)设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件A，则A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b、c＝1，…，6}
Ω中的基本事件总数为6×6＝36个．
A中的基本事件总数为6＋6＋4＋2＋1＝19个，
故所求概率为P(A)＝.
(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

19．（I）证明：连结，则与的交点为，
为正方形的对角线，故为中点；
　连结MO，分别为的中点，
　，　 　　　　　　　　　　　　　
平面，平面　　　　　
　平面．　　　　　　　　　　　………4分
（II），平面，且平面，
；且，　平面 ………5分
平面，　， ………………6分
连结，在中，，
，，
∴，　　 　 …… 8分
又，平面； …… 9分
法二：, ∠ODM=∠B1BO=Rt∠,
∴ΔMDO∽ΔOBB1 , ∴∠MOD=∠OB1B, ，∴．
（Ⅲ）求三棱锥的体积，
　　　　　． …………… 12分
法二：可证平面，
则

20.解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，…………………2分
∴ ① …………………3分
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，
∴ 得上交点为，
∴ ②…………………4分
由①代入②得，解得或（舍去），
从而 …………………5分
∴ 该椭圆的方程为 …………………6分
（2）∵ 倾斜角为的直线过点，
∴ 直线的方程为，即，…………………7分
由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，
………………8分

则得 …………………9分
解得，即 …………………10分
又满足，故点在抛物线上。 …………………11分
所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。
…………………12分

21解:（Ⅰ） ……1分
由题意的解集是
即的两根分别是．
将或代入方程得．
． ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，
点处的切线斜率， ……5分
函数y=的图像在点处的切线方程为：
，即． ……7分
（Ⅲ） ，
即：对上恒成立 ……8分
可得对上恒成立
设,
则 ……10分
令,得（舍）
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2
．
的取值范围是． ……12分

22.（Ⅰ） ……5分 （Ⅱ） ……10分
23.（Ⅰ） ……5分
（Ⅱ） ……10分
24.（Ⅰ）或 ……5分
（Ⅱ） ……10分

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