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函数的奇偶性的归纳总结
考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。
教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；
2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；
3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；
4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
教学重点：1、理解奇偶函数的定义；
2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。
教学难点：1、对奇偶性定义的理解；
2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。
教学过程：
一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
理解：
(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象：
奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）
④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
5、判断函数奇偶性的方法：
⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数；
对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或 函数f（x）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称；
②、比较与的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，
⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若为偶函数，则。
二、典例分析
1、给出函数解析式判断其奇偶性：
分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1). (2) .
解：函数的定义域是，
∵ ，∴ ，
∴ 为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数的图象如下：
由函数的图象可知，
为偶函数。
说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2) . 解：由 ，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).
∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1). (2) . (3). 。
解： (1).由，解得
∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则.
∴.
∴为奇函数.
说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。
(2) .函数定义域为R，
∵，
∴，
∴ 函数为偶函数。
(3). 由，解得 ，∴ 函数定义域为，
又∵，∴，
∴且，
所以 既是奇函数又是偶函数。
【例3】 判断下列函数的奇偶性：
(1). ；(2).
解：(1) . 定义域为R，∵，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。
说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找与关系，但当直接找与关系困难时，可用定义的变形式：函数f（x）是偶函数； 函数f（x）是奇函数。
(2) .函数的定义域为R，
当时，
当时，
当时，
综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。
说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性：
【例4】 已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。
解：函数的定义域为，
令，得，令，则
取，得
故函数为偶函数。
3、函数奇偶性的应用：
(1) . 求字母的值：
【例5】已知函数是奇函数，又，，求的值.
解：由得，∴。
又得，而得，
∴，解得。
又，∴或.
若，则，应舍去；若，则b=1∈Z.
∴。
说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如  f(－1)=－f(1)，得c =0。
(2) . 解不等式：
【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.
解：画图可知f(x)＜0的解集为     ｛x｜－1＜x＜1｝，
∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.
答案：｛x｜0＜x＜2｝
说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x－1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.
(3) . 求函数解析式：
【例7】已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).
分析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.
解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.
当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，
∴f(x)=－xlg(2+x)  (x＞0).
∴。
说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。
三、巩固训练：
一、选择题
1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］时f(x)等于
A.－x(1－x)             B.x(1+x) C.－x(1+x)               D.x(x－1)
2.已知四个函数：①，      ②，③ y=3x+3-x，④ y=lg(3x+3-x).其中为奇函数的是
A.②④                   B.①③ C.①④                   D.①②
3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，则在R上f(x)的表达式为
A.－x(x－2) B. x（｜x｜－2） C.｜x｜(x－2) D.｜x｜（｜x｜－2）
二、填空题
4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.
5.若 (x∈R且x≠0)为奇函数，则a=_______________.
6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，则f(5)=_______________.
7.已知是定义在上的奇函数，当时，
的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________
三、解答题
8.已知且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。
9.已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.
10.设函数是偶函数，函数是奇函数，且，求和的解析表达式。
11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。
12.已知都是定义在R上的奇函数，若在区间上的最大值为5，求在区间上的最小值。
13.已知是奇函数，在区间上单调递增，且有，求实数的取值范围。
四、巩固训练参考答案：
一、选择题
1. 解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴ f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x). 
∴f(x)=x(1+x). 答案：B
2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D
3. 解析：设x＜0，则－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.
∴，即f(x)= x（|x|－2），故答案：B 。
二、填空题
4. 解析：定义域关于原点对称，故a－1=－2a，，
又对于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0. 答案： ， 0 。
5. 解析：特值法：∵f(－1)=－f(1) ，，。
答案： 。
6. 解析：整体思想：f(－5)=a(－5)7－  b(－5)+2=17 (a·57－5b)=－15，
∴ f(5)=a·57－b·5+2=－15+2=－13. 答案：－13 。
7. 解析：∵ 是定义在上的奇函数，∴ 补充其图像如图，又∵不等式同解于或，解得，或或，∴不等式的解集是，答案：。
三、解答题
8. 解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.
∴。
又，∴G(x)为奇函数。
9. 证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0). ∵ f(0)≠0，∴f(0)=1.
令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y). ∴ f(－y)=f(y).
∴ f(x)是偶函数.
归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.
10. 解：∵，∴，
又∵函数是偶函数，函数是奇函数，∴，，
∴上式化为，解组成的方程组得，。
11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解
解：令g(x)=x5+ax3-bx，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)，
于是f(-2)＝g(-2)-8,　 ∴ g(-2)=18.　　所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.
12. 解：设，则为奇函数，
因为当时，所以
所以当时，即
故在区间上的最小值为-1 。
13. 解：因为函数是奇函数，所以
由得，即
又在区间上单调递增，故得 ，解得
所以实数的取值范围为
注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出是解决本题的关键。

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