初三复习将军饮马(终稿).doc

初三复习专题 最短路径问题——将军饮马
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将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题
一、基本模型（2条线段和最小）：
1、如图，在定直线l的同侧有两定点A,B,在直线l上求作点P，使PA+PB最小。

二、模型变型（3条线段和最小）
2、如图，点P是∠MON内的一定点，分别在OM、ON上作点A、B，使△PAB的周长最小。

【例1】如图，∠MON=45°，P是∠MON内一点，PO=10，A,B分别是OM、ON上的动点，则△ABP周长的最小值为 。

【方法归纳：】
1、作图的一般步骤是：①
②
③
2、计算最短线段长度的方法：
【例2】、已知抛物线交x轴于A(-1,0)、B（3,0）两点，交y轴于点D（0，3），又已知点E（2,3），点F（0，1）。点G为对称轴PQ上一动点，试问在x轴上是否存在一点H，使D,G,H,F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由。

三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）
3、如图，点P是∠MON内的一定点，在射线OM、ON上
分别找两个点A、B，使PA+AB最小。

【例3】、如图2，菱形ABCD中，AB=10，∠B=135°，E是AB上一动点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为　 　．

【变式】、已知直线和交于M点，夹角为30°，点A在上且AM=10，P是上一动点，则P点到A点的距离与的距离之和的最小值为 。

四、将军饮马+平移模型
4、如图，已知有两个定点A、B，在定直线l有两个动点P、Q，且PQ长度不变，求作点P、Q使得AP+PQ+BQ最小。

（A、B异侧） （A、B同侧）
【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A处和B处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）

五、差最大模型：
5、如图，在直线L的同侧有两点A,B,在直线l上求作点P，使最大。

【例5】、如图所示，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），C（0，−3）．
（1）求二次方程的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点距离之差最大？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

课后作业
1、如图1，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为　 　．
2、如图2，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为　 　．

（图1） （图2） （图3） （图4）
3、如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，P在线段EF上，则BP+AP的最小值为　 　．
4、如图4，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，则BP+AP的最小值为 ．
5、 如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为 ，此时∠AMN+∠ANM= 。
6、如图6，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC,E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，则EM+EC的最小值为 。
7、如图7，在锐角△ABC中，AB＝3，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是  ．

（图5） （图6） （图7）
8．如图8，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（﹣2，0）和点D（﹣4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

（图8）
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