解三角形完整讲义.doc

正余弦定理知识要点：
1、正弦定理:或变形：.
2、余弦定理： 或 .
3、解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…
【例题】在锐角三角形ABC中，有 （ B ）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinA
C．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA
9、三角形内切圆的半径：，特别地，

正弦定理
专题：公式的直接应用
1、已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
2、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ C ）
A．30° B．60° C．60°或120° D． 30°或150°
3、的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
4、已知△ABC中，，，，则a等于（ B ）
A． B. C. D.
5、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,则等于 （ B ）
A． B． C． D．
6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于 ． （）
7、△ABC中，，，，则最短边的边长等于（ A ）
A . B. C . D .
8、△ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）
A . B . C . D .
9、在△ABC中，证明：。
证明：
由正弦定理得：

专题：两边之和
1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝ ；b＝ .
（,）
2、已知的周长为，且．
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数．

专题：三角形个数
1、△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( C )
A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
2、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ B ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°
5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ B ）
A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定
6、满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（ A ）
A．4 B．2 C．1 D．不定
7、已知△ABC中，121°，则此三角形解的情况是 无解
8、在△ABC中，已知，，，则边长 。或
专题：等比叠加
1、△ABC中，若，，则等于（ A ）
A .2 B . C . D.
2、在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则= .

专题：变式应用
1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A　　)
　　A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C．1：3：2 D．3：1：2
3、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① ② ③ ④ 其中成立的个数是 ( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4、在△ABC中，已知边, ，求边a、b 的长。
解：由，,可得 ，
变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,
又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形.
由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。
5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________________。
6、设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（1）求的大小；
（2）求的取值范围．

专题：求取值范围
1、△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围( C)
A． B． C． D．
2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
3、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 2
答案 ：设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，所以
余弦定理
专题：公式应用
1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ C ）
A． 30° B．45° C．60° D．120°
2、在三角形中，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
4、在△ABC中，150°，则b＝ 7
5、在△ABC中，若，则（ C ）
A. B. C. D.
6、在△中，三边长分别为,则的值为（ D ）
A．38 B．37 C．36 D．35
7、在△ABC中，已知，则角A为（C ）
A． B． C． D． 或
8、在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是 。
9、设a、b、c是的三边长，对任意实数x，有（ B ）
A. B. C. D.
9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ B ）
A．52 B． C．16 D．4
10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= 9
11、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ D ）
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB)
=(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)²

专题：判断三角形
1、若，则△（ A ）
A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形
C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形
2、 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ C ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3、△ABC中，，，则△ABC一定是 （ D ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定
5、△ABC中，，则△ABC一定是 （ D ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
6、在△ABC中，若，则△ABC是（ B ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形
7、 若的内角的对边分别为，且则（ ）
A．为等腰三角形 B．为直角三角形
C．为等腰直角三角形 D．为等腰三角形或直角三角形
8、的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状：

9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ B ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 ( B )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
11、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
12在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ C ）
A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
13、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ B ）
A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形
14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ B ）
A． B． C． D．
15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形. 钝角
16、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。
解：由正弦定理得：，，。
所以由可得：，即：。
又已知，所以，所以，即，
因而。故由得：，。所以，△ABC
为等边三角形。
17、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量
，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若，试求当取得最大值时的形状.
9.解：（1）由

又因为
解得分
（Ⅱ）在，
． ，
即,
又由（Ⅰ）知所以，为正三角形
18、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,b2=ac；
①由余弦定理
，
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.
②b2tanA=a2tanB；②由
∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△.
③sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理：
.
④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).④由条件变形为
.
∴△ABC是等腰△或Rt△.

专题：
1、在△ABC中，如果，那么等于 。
2、在中，已知，则___________
3、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是 120
4、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。
解： 又是方程的一个根 由余弦定理可得：
则： 当时，c最小且 此时 △ABC周长的最小值为
5、在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解 （1）因为，，又由
得，
（2）对于，又，或，由余弦定理得
，

专题：已知面积
1、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于 （ D ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，则____________
3、已知△中，，，，，，则（ ）
A. B ． C． D． 或
4、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（ C ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
5、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______.
6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。
解：（1） C＝120°
（2）由题设：

7、在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.

专题：求三角形面积
1、在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ B ）
A． B． C．或 D． 或
2、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为 （ B ）
A
C
B

30米
20米
A． B． C． D．
3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
4、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（ C ）
A． B． C． D．
5、 △ABC中，，，，则等于 （ C ）
A B C 或 D 或
6、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.
7、、、为的三内角，对边分别为、、，若．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
解：（Ⅰ）
又， ，
（Ⅱ）由余弦定理得
即：， ∴
8、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
∴c=, =×2×= 。
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, =×2×= 。
9、已知△的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·n=1．
（1）若，求的值；
（2）若，求△的面积．
解：（1）∵mn
∴ ∴
由正弦定理得，， ∴，
（2）∵，， ，∴， 又∵，∴，∴， ∴．
10、在中，.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求的面积．
10.解：（Ⅰ）由，得．----2分
∵，∴-----4分
．-----6分
（Ⅱ）由，得，------8分
由正弦定理得．-----10分
所以的面积．----12分
11、在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以

定理应用
1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（    ）
A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米
2 、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (  C  )
A.10 海里    B.5海里     C. 5 海里      D.5 海里
3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ D ）
A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元
4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ A ）
A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
5、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ）
A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米
A

B
6、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 （ A ）

A． B．
D C
C． D．
7、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，。
在△AOB中，由正弦定理，得， 
∴
而，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.

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