圆的一般方程(优质课).ppt

圆的一般方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0)特征：直接看出圆心与半径 复习 x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲线是圆呢？思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.将将左边配方，得左边配方，得（1）当）当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F0(2)当当D2E24F0时时，方方程程表表示示一一个个点点 ；(3)当当D2E24F0时，方程时，方程无实数解无实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程 圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径不是不是不是 练习2.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于3.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 练习 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则若是圆则求出圆心、半径求出圆心、半径.a4：(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程标准方程标准方程小结一:举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得 小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法 例3：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。举例 1、已知点P在圆C：上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。练习2、求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又D2-4F=36(1)圆过P(-2,4),Q(3,-1)(-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 练习 3.自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，轴反射，其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切，求光线求光线l 所在直线的方程所在直线的方程.题意分析题意分析 B(-3，-3)A(-3，3)C(2,2)(1)入射光线及反射光线与入射光线及反射光线与 x轴轴夹角夹角相等相等.(2)点点P关于关于x轴的轴的对称点对称点Q在在 反射光线所在的直线反射光线所在的直线l 上上.(3)圆心圆心C到到l 的距离等于的距离等于 圆的半径圆的半径.答案：答案：l:4x+3y+3=0或或3x+4y-3=04、过点过点M（-6，0）作圆作圆 C：的的割线，交圆割线，交圆C于于A，B两点两点.求线段求线段AB的中点的中点P的轨迹的轨迹.解：圆的方程可化为解：圆的方程可化为(x-3)+(y-2)=422其圆心为其圆心为C（3，2）半径为半径为2设设P（x，y）是轨迹上任意一点是轨迹上任意一点化简得：化简得：所以所求轨迹为圆所以所求轨迹为圆 -6o3y yx xcA AB B。P P在已知圆内的一段弧（不含端点）在已知圆内的一段弧（不含端点）.思考题：解：方法一OPQ将（1）代入（2）式可得:m=1解：方法二OPQ思考题：1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结几何方法 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径 （圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程