几何证明——线段与差模型(中级).doc
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1、几何证明线段和差模型(中级)【知识要点】在几何证明中,我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段(),或者两条线段之差等于一条线段()。在处理这类线段和差关系的问题时,我们常用“截长”与“补短”的方法。截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段(一分为二),补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边(合二为一)。截长法:如果要证明线段等式,可以在长的一条线段上截取一条线段等于(或者),然后只需证明线段上去掉(或者)之后剩下的线段等于(或者)就行了。补短法:如果要证明线段等式,可以先将短的两条线段和拼接在一起形成一条长线
2、段,然后只需要证明就行了。截长补短的方法比较灵活,要根据具体的题目条件,作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型,希望同学们能记住并掌握其用法,以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。【经典例题】例1、(1)正方形中,点在上,点在上,。求证:。(2)正方形中,点在延长线上,点在延长线上,。请问现在又有什么数量关系?(3)正方形中,点在延长线上,点在延长线上,。请问现在又有什么数量关系?例2、正三角形中,在上,在上。请问有什么数量关系?例3、已知:平分,求证:。例4、正方形ABCD中,对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE平分DAC.求证:.例5、已知,如图,在中,为上任一点.求证:
3、。【提升训练】1、如图,已知中,边上的高为,求证:。2、已知:平分,求证:。3、已知,求证:。4、如图,在中,是的平分线,且,求的度数。5、如图,四边形中,、分别平分、,且点在上。求证:。6、如图所示,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长。7、如图,在梯形中,为的中点,交于点。(1)求证:;(2)当,且平分时,求的长。 8、已知中,、分别平分和,、交于点,试判断、 的数量关系,并加以证明。9、己知,中,垂足为,是上任一点,垂足分别为.(1)求证: ;(2)若在延长线上,求证:。 10、(1)如图,四边形是正方形,点是边的中点。,且交正方形外角的平行线于点,求证:。(2)如图,四边形是正方形,点是边上(除,外)的任意一点。,且交正方形外角的平行线于点,求证:。(3)如图,四边形是正方形,点是的延长线上(除点外)的任意一点。,且交正方形外角的平行线于点,求证:。11、在等边的两边、所在直线上分别有两点、,为外一点,且,。探究:当、分别在直线、上移动时,、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系。(1)如图1,当点、边、上,且时,之间的数量关系是_ ; 此时 ; (2)如图2,点、边、上,且当时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (3)如图3,当、分别在边、的延长线上时,若,则 (用、表示)。6 / 6
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