几何证明——线段与差模型(中级).doc

几何证明——线段和差模型(中级)
【知识要点】
在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（），或者两条线段之差等于一条线段（）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。
截长法：如果要证明线段等式，可以在长的一条线段上截取一条线段等于（或者），然后只需证明线段上去掉（或者）之后剩下的线段等于（或者）就行了。
补短法：如果要证明线段等式，可以先将短的两条线段和拼接在一起形成一条长线段，然后只需要证明就行了。
截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。
【经典例题】
例1、（1）正方形中，点在上，点在上，。求证：。

（2）正方形中，点在延长线上，点在延长线上，。请问现在又有什么数量关系？

（3）正方形中，点在延长线上，点在延长线上，。请问现在又有什么数量关系？

例2、正三角形中，在上，在上。。
请问有什么数量关系？

例3、已知：平分，，，求证：。

例4、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC.求证：.

例5、已知，如图，在中，，，为上任一点.
求证：。

【提升训练】
1、如图，已知中，边上的高为，，求证：。

2、已知：平分，，求证：。

3、已知，，，求证：。

4、如图，在中，，是的平分线，且，求的度数。

5、如图，四边形中，，、分别平分、，且点在上。求证：。

6、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长。

7、如图，在梯形中，，为的中点，交于点。
（1）求证：；（2）当，且平分时，求的长。

8、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、 的数量关系，并加以证明。

9、己知，中，，，垂足为，是上任一点，垂足分别为.（1）求证： ；（2）若在延长线上，求证：。

10、（1）如图，四边形是正方形，点是边的中点。， 且交正方形外角的平行线于点，求证：。

（2）如图，四边形是正方形，点是边上（除，外）的任意一点。，且交正方形外角的平行线于点，求证：。

（3）如图，四边形是正方形，点是的延长线上（除点外）的任意一点。，且交正方形外角的平行线于点，求证：。

11、在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，。探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系。

（1）如图1，当点、边、上，且时，之间的数量关系是_______ ； 此时 ；
（2）如图2，点、边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，若，则 （用、表示）。

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