浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷.doc
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浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试 数学理科试卷 注意事项:1。本试卷满分150分,考试时间120分钟 2.整场考试不准使用计算器 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2。 函数的图像为 ( ) A B C D 3. 设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是( ) A. B. C. D. 4。 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的值是() A. B. C. D. 5。 已知命题; 命题 则下列命题中真命题是( ) A. B. C. D. 6.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C:不 经过区域D上的点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 8. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中,设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数,则的数学期望为( ) A. B. C.2 D. 9. 已知函数,函数,若存 在,使得成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知函数=,把函数的零点按从小到大的顺 序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题有7小题,每小题4分,共28分. 11.设,在二项式的展开式中,含的项的系数与含的项的系数相等,则的值为 . 12。在平面直角坐标平面上,,且与在直线上的射影长度 相等,直线的倾斜角为锐角,则的斜率为 . 13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为___ 14。由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4不在第四位, 则这样的六位数共有 ___ 个. 15.平面向量,,满足,,,,则的最小值为 . 16.已知,过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共 点,则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或;类比此思想,已知 ,过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的 倾斜角为__________ 17。已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”。给出下列四个集合: ①; ②; ③; ④. 其中是“垂直对点集"的序号是 三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18。 (本题满分14分) 已知函数 在区间上单调递增,在区间上单调递减; 如图,四边形中,,,为的内角的对边,且满足 . (1)证明: (2)若,,,, 求四边形面积的最大值。 19. (本题满分14分) 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; (2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 20。 (本题满分14分) 在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面, 平面平面, ,且 (1)若,求证:平面 (2)若二面角为60°,求的长。 21。 (本题满分15分) 已知椭圆C:,⊙, 点A,F分别是椭圆C的左顶 点和左焦点, 点F不是上的点,点P是上的动点. (1)若,PA是的切线,求椭圆C的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由。 22. (本题满分15分) 设. (1)若,求最大值; (2)已知正数,满足.求证:; (3)已知,正数满足.证明: . 浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试 数学理科试卷参考答案 1—10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、 14、120 15、5/4 16、或 17、②④ 18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:,解得:, (Ⅱ)因为,所以,所以为等边三角形 , ,, 当且仅当即时取最大值,的最大值为 19、(1) (2)第10年年初 20、【答案】解: (Ⅰ)分别取 的中点,连接, B E D C A M N P 则∥,∥,且 因为,,为的中点, 所以, 又因为平面⊥平面, 所以平面 又平面, 所以∥ 所以∥,且,因此四边形为平行四边形, 所以∥,所以∥,又平面,平面, 所以∥平面 (或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证) M B E D C A N (Ⅱ)解法一: 过作的延长线于,连接. 因为,, 所以平面,平面 则有。 所以平面,平面, 所以。 所以为二面角的平面角, 即 在中,,则 ,。 在中,。 设,则,所以,又 在中,,即= 解得,所以 解法二: B E D C A M x y z 由(Ⅰ)知平面,, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,, ,, ,。 设平面的法向量 则 所以 令, 所以 [来源:Z_xx_k.Com] 又平面的法向量 所以 解得, 即 21、(1) (2) () 时,,当时,.即在上递增,在递减.故时,有。(3分) ,则 易证在在上递增,在上递减。 时,有. ,即, 即证 (8分) ① 当时,命题显然成立; ② 假设当时,命题成立,即当时, 。则当,即当时, ,又假设知 ,即 =. 这说明当时,命题也成立。 综上①②知,当,正数满足时 (14分) (以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.)- 配套讲稿:
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