第5讲(教师)角平分线(北师大版).doc
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1、第 5 讲 角平分线学习目标:能够证明角平分线的性质定理、判定定理。能够利用尺规作已知角的平分线。能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。重点:角平分线的性质定理、判定定理。难点:利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。学习过程知识精讲知识点角的平分线:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。1、点到直线的距离:这点向直线引垂线,这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。2. 角平分线的性质及判定(1)角平分线的性质:文字表达:角的平分线上的点到角的两边的距离相等几何表达: OP平分MON(12),PAOM,PBON,(已知)PAPB(角平分线的性质)思考
2、:这一性质定理的根据是什么?(2)角平分线的判定:文字表达:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上几何表达: PAOM,PBON,PAPB(已知)12(OP平分MON)(角平分线的判定)思考:这一判定定理的根据是什么?3、三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。4、点P是ABC的三条角平分线的交点,且PEBC于E,PFAC于F,PDAB于D,则有 。二、典型例题例1. 如图所示,在ABC中,C90,ACBC,DA平分CAB交BC于D,DEAB于E, AB=10求BDE的周长 例2、如图,在四边形ABCD中,ABCD,点E是BC的中点,DE平分ADC求证:AE是DAB的平分
3、线 过点E作EHAB于点H,反向延长EH交DC的延长线于点G,过点E作EFAD于点F,ABCD,EHAB,EGDC,点E是BC的中点,CE=BE,在CGE与BHE中,GCEBCEEBCEGBEHCGEBHE,GE=EH,DE平分ADC,GE=EF,GE=EH,EF=EH,AE是DAB的平分线例3、如图所示,已知ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分BAC?请说明理由由此题你能得到一个什么结论?思考:画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交;两个外角的平分线相交,观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系例4、 如图4,在ABC中,ABC=100,ACB=20,CE
4、平分ACB,D是AC上一点,若CBD=20,求ADE的度数. 图4分析:由于CE平分ACB,可过点E作ACB的两边的垂线,通过证明DE是ADB的平分线解决问题.解:作ENCA,EMBD,EPCB,垂足分别是N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100-20=80,PBA=180-100=80,所以PBA=ABD,因为EMBD于M,EPCB于P,所以EP=EM,又CE平分ACB,ENCA,EPCB,所以EN=EP,所以EN=EM,所以ED平分ADB,所以ADE=ADB=40=20.需要添加辅助线构造全等三角形的题目,较为常用的构造法有:(1)作平行线.(2)作垂线.(3)延长特殊线段构造相等线
5、段.(4)连接图形中的特殊点.(5)求作特殊图形的对角线.二 探究1、如图,CDAB,BEAC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且1 =2。求证:OB = OC。2、如图,AB = AC,DE为ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E。求证:BE + EC = AB。DE是AB的垂直平分线,AEBEAEECACBEECAC又AB=ACBE+EC=AB3、如图,在ABC中,AC = BC,C = 90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E。(1)已知CD = 1 cm,求AC的长;(2)求证:AB = AC + CD。(1)解:C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,
6、DE=CD=1,AC=BC,C=90, B=45,BDE是等腰直角三角形,BD=DE=,AC=BC=CD+BD=+1(2)证明:在ACD和AED中,ADADDECDACDAED(HL),AC=AE,BDE是等腰直角三角形,BE=DE=CD,AB=AE+BE,AB=AC+CD4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。5、如图,求作一点P,使PC = PD,并且点P到AOB两边的距离相等。6、(1)利用角平分线的性质,找到ABC内部距三边距离相等的点。(2)在右图ABC所在平面中,找到距三边所在直线距离相等的点。三 提升1、如图,CDAB,BEAC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且OB = O
7、C。求证:1 =2。2、 如右图,已知BEAC于E,CFAB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD。求证:AD平分BAC。证明:BEAC于E,CFAB于F,BFD=DEC=90,在BDF和CDE中,BDFCDE(AAS),DE=DF,又BEAC,CFAB,AD平分BAC。3、填空:(1)如图1,点P为ABC三条角平分线交点,PDAB,PEBC,PFAC,则PD_PE_PF.(2)如图2,P是AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系是_.(3)如图3,CD为RtABC斜边上的高,BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FGAB,垂足为G,则CF_FG,1+
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