浙教版八年级三角形中几种模型.doc

一、手拉手模型：
1手的判别：
判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。
2手拉手的定义
两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）
3手拉手基本结论

①△ABC≌△AB'C'(SAS)
②∠BAB'=∠BOB'
③AO平分∠BOC'

二、例题
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1） △ABE≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE与DC的夹角为60。
（4） △AGB≌△DFB
（5） △EGB≌△CFB
（6） BH平分∠AHC
（7） GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1） △ABE≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE与DC的夹角为60。
（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1） △ABE≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式训练3：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否与CD相等？
（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？

例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.
问 （1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？

二、半角模型
1、条件：
2、思路：①截长补短
②旋转
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，
求证：①.∠MAN=
②.
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，
①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.
②.求证：AB=AH.

例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.
求证：

练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固2：已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

练习巩固3：在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________
（2）如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________(用表示)

练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD中，=45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。
求证：（1）MN=MB+DN；
（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；
（3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍；
（4）；
（5）若=20°，求；
（6）若，求；
（7）；
（8）与是等腰三角形；
（9）。

三、三垂直模型（一线三等角）（K型）
1、常见的一线三垂直的模型。

例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．

变式训练：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。
求证：∠ADP=∠EPB；
求∠CBE的度数；

例3：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．
（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．
（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

四、角平分线模型
1、边垂直
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作
PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA
例1：（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP平分∠BAC。

例2：如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点
P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

例3：．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2、翻折全等（对称）
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON
上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。

例1：（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较
PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

例2：．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC的长。

例3：如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。

例4：已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。
求证：BC=AB+CD。

3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。

例1：如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，
CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。

例2：如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。
求证：∠2=∠1+∠C。

例3：（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、
AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。
求证：(1)AB+AC+BC=MN
（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立，那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。
（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。

4、角平分线+平行线→等腰（底角相等）
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点
P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。

例1：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交
于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC
于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。

3． 例2：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD=AB-BC。