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(完整版)二次函数之面积专题
二次函数之面积专题(讲义)
一、知识点睛
1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用“__________"的线．
几何中处理面积问题的思路：_______、_______、_______．
2. 坐标系中面积问题处理方法举例:
①割补求面积(铅垂法）：

②转化求面积:

若P、Q在AB同侧 若P、Q在AB异侧
则PQ∥AB 则AB平分PQ

二、精讲精练
1. 如图，抛物线经过A(—1,0)、B（3，0)、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B、C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB、MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在,求出点M的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．

2. 如图,抛物线与直线交于A、C两点，其中C点坐标为（2，t)．
(1）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC面积的最大值．
（2)在直线AC下方的抛物线上,是否存在点G,使得？如果存在,求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

3. 抛物线y=x2-2x—3与x轴交于A、B两点,与直线y=—x+p交于点A和点C(2,—3).
（1)若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12,求P、Q两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

4. 如图,抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点P,与直线BC交于点M，连接PB．
（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标;若不存在,说明理由．
（2)在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等?若存在，求出点R的坐标;若不存在，说明理由．

5. 如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0，—3）．
（1)求抛物线的解析式；
（2）如图,己知点H(0，-1)，在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧)，使得S△GHC=S△GHA?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

三、回顾与思考
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【参考答案】
一、 知识点睛
1.横平竖直 2.公式、割补、转化
二、 精讲精练
1.解：（1)
（2）∵点M在抛物线上，
∴M（m,）
由点B(3，0），C（0,3）可得直线BC解析式:y=-x+3
∴N（m，—m+3）
∴MN=
（3)过点C作CE⊥MN于点E,直线MN交x轴于点F,则

∴S四边形OBMC
∵0<m<3，
∴当m=时， S四边形OBMC最大=，此时，M（,）
2.解：（1）过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，

由抛物线得A（-1,0）,C（2，3）
设P（m,)（—1〈m<2）
则E（m，m+1）
∴PE=

∴当m=,
（2）过点G作GF⊥x轴，交AC于点F，
设G（n，）（n〈-1或者n>2）
则F(n，n+1),
∴
∵,∴，解得n=3或n=-2
∴
3.解：（1)
由y=x2-2x-3，可知A（—1，0）、B（3，0)
由C（2，-3）在y=—x+p上，可知y=-x—1
过点P作PE⊥x轴，交AC于点E。
设P(m，m2—2m—3)，则E（m，—m-1）
∵平行四边形ACQP面积为12
∴
当点P在直线AC上方时，如图1，

图1

∴PE=4，此时PE= m2-2m-3—（-m-1)= m2—m-2
m2—m-2=4，解得m1=3,m2=-2
∴P1（3,0）、P2(—2,5）
由平行四边形对边平行且相等
Q1(6，-3)、Q2(1，2）
当点P在直线AC下方时，如图2，

图2

∴PE=4,此时PE=—m-1 -（m2—2m—3）= -m2+m-2
-m2+m-2=4，方程无解.
因此，满足条件的P，Q点是P1(3，0）， Q1(6，—3)或
P2(—2，5），Q2（1，2）
（2）由（1）可知，PQ=AC=，

过M作MF⊥PQ于点F，则
当直线MN与抛物线只有一个交点时，MF最大,此时面积最大
过点M作MN//PQ，交y轴于点N，过N作NH⊥PQ于H
设直线MN为y=—x+n,则由
令△=0，此时n=,N(0，）
得方程，
∴ M（，—）
∵MF=NH=
∴
∴△PQM最大面积为，此时点M为(，-）
4。。解：(1）存在，坐标为Q1（2，3）、Q2（，）、Q3（，）
理由：如图所示

由抛物线表达式：y=-2x2+2x+3
∴A(-1，0）、B(3，0）、C（0，3）、P（1，4)
∵S△QMB=S△PMB
∴PQ1∥BC,Q2 Q3∥BC
又∵BC:y=-x+3
设PQ1：y=—x+b PQ1过点P（1,4)
∴PQ1：y=-x+5
得 即
∴x1=1（舍) x2=2
∴Q1（2,3)
又∵ PQ1:y=—x+5 ，E（0,5） S△QMB=S△PMB
∴CF =CE=2
∴Q2Q3 ：y=-x+1
得 即
∴x1= x2=
∴Q2(，)Q3(,）
(2）存在，坐标为R（，2）
理由:

过点P作PH⊥MR于点H
过点B作BI⊥MR于点I
连接PB交MR于点O′
∵S△PMR=S△BMR
∴PH=BI
易证△PHO′≌△BIO′
∴PO′＝BO′
又∵P（1，4）B（3,0）
∴O′（2，2） 又M(1，2)
∴M O′：y=2
得 即
∴x1= x2=(点R在第一象限,舍去）
∴R(，2）
5。(1)抛物线表达式为y=x2+2x-3
（2）存在
△GHC和△GHA有一公共边GH，如果以GH为底,对应的高相等,则S△GHC=S△GHA．
i）如图1，

当点A、C在GH的同侧,AC∥GH时,S△GHC=S△GHA
∵A(1，0), C(0，—3)
∴直线AC的表达式为y=3x-3
又∵H（0，-1)
∴直线GH的表达式为y=3x—1

∴ 或(舍）
∴G（—1，-4）
ii）如图2，

当点A、C在GH的异侧，线段AC的中点在GH上时，S△GHC=S△GHA
∵A（1，0)， C(0，—3）
∴线段AC的中点P为
又∵H(0，—1)
此时直线GH的表达式为y=-x-1

或 （舍）
∴G
综上G1（—1，-4）,G2

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