函数对称性、周期性与奇偶性规律总结.doc

函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）
1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性
（1）函数的轴对称：
函数关于对称
也可以写成 或
若写成：，则函数关于直线 对称
证明：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
说明：关于对称要求横坐标之和为，纵坐标相等。
∵ 关于对称，∴函数关于对称
∵关于对称，∴函数关于对称
∵关于对称，∴函数关于对称
（2）函数的点对称：
函数关于点对称
或
若写成：，函数关于点 对称
证明：设点在上，即，通过
可知，，所以，所以点
也在上，而点与关于对称
得证。
说明: 关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如 之和为 。
（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
（4）复合函数的奇偶性的性质定理：
性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。
　　复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。
　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性
1、与关于X轴对称。
证明：设上任一点为 则，所以经过点
∵与关于X轴对称，∴与关于X轴对称.
注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2、与关于Y轴对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于Y轴对称，∴与关于Y轴对称。
注：因为代入得所以经过点
换种说法：与若满足，即它们关于对称。

3、与关于直线 对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于轴对称，∴与关
于直线 对称。
注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。
4、与关于直线对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于轴对称，∴与关于直线对称.
注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。
5、关于点(a,b)对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点
∵与关于点(a,b)对称，∴关于点(a,b)对称.
注：换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。

6、与关于直线对称。
证明：设上任一点为则，所以经过点,经过点,∵与关于直线对称，
∴与关于直线对称。
三、总规律：定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
(一)、函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
1、 周期性：
（1）函数满足如下关系式，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出
即可以
得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x
轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称
轴为，根据可以找出其对称中心为
（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）
（4）如果奇函数满足（），则函数是
以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足
（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
定理1：若函数在R上满足，且（其
中），则函数以为周期.
定理2：若函数在R上满足，且
（其中），则函数以为周期.
定理3：若函数在R上满足，且（其
中），则函数以为周期.
定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。
定理5：若函数f(x)的图像关于点（a,c）和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。
定理6：若函数f(x)关于点（a,c）和x=b都对称，则f(x)是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。
定理7：若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a>0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。
定理8：若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0)(或f(x+a)=或f(x+a)=－)则f(x)周期函数，2a是它的一个周期。
定理9：若函数,则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期。
若f(x)满足,则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。

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