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第二十六讲面积问题评说(含答案)-.doc
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1、第二十六讲 面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量,面积是平面几何中一个重要的概念,联系着几何图形中的重要元素边与角 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题,求面积的基本方法有: 1直接法:根据面积公式和性质直接进行运算 2割补法:通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题 3等积法:根据面积的等积性质进行转化求解,常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化4等比法:将面积比转化为对应线段的比熟悉以下基本图形中常见的面积关系:注 等积定理:等底等高的两个三角形面积相等等比定理:(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比,同高(或等高
2、)的两个三角形面积之比等于对应底之比; (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比 例题求解 【例1】 在梯形ABCD中,ABCD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为,AOB的面积为S1,COD的面积为S2,则= (2000年山东省竞赛题)思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识,图形中有重要面积的关系:SAOD=SBOC=,S梯形ABCD=S1+S2+=(读者证明),于是将问题转化为求梯形ABCD的面积 【例2】 如图,在ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BDCE,BD4,CE=6,那么ABC的面积等于( )A12 B14 C16 D18(全国初中数学
3、联赛试题) 思路点拨 由中点想到三角形中位线,这样ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系,只要求出四边形BCDE面积即可 【例3】如图,P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,AP与CQ相交于点E,且PAD=QAD,求证:S矩形ABCD=SAPQ (重庆市竞赛题) 思路点拨 把面积用相应的线段表示,面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明注意等线段的代换 【例4】 如图甲,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,SDMC、SDAC、SDBC分别表示DMC、DAC、DBC的面积,当ABCD时,有SDMC = (1)如图乙,若图甲中AB不平行CD,式是否成立?请说明理由; (2)如图丙,
4、若图甲中A月与CD相交于点O时,问SDMC和SDAC和SDBC有何种相等关系?试证明你的结论 (2001年安徽省中考题) 思路点拨 对于(1),因DMC、DAC、DBC同底,要判断式是否成立,只需寻找它们的高之间的关系:对于(2),由于M为AB中点,可利用等积变换得到相等的面积关系,通过建立含SDMC、SDAC、SDBC的等式寻找它们的关系注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识,要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证 通过强化或弱化条件,改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径 【例5】如图,设P为ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、C
5、A、AB于点D、E、F 求证:(1);(2) 思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线,这样既可得到平行线,产生比例线段,又可与面积联系起来,把羔转化为面积比,利用面积法证明注 有些几何问题,虽然题目中没有直接涉及面积,但由于面积关联着边角两个重要元素,所以我们可从面积角度思考问题,这就是常说的面积法 用面积法解题的基本步骤是: (1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积,得到一个含边或舍角的关系式 (2)化简这个面积关系式,直至得到求解或求证的结果当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时,不妨用面积法试一试学历训练1如图,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米),如果每
6、平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株(第14届“希望杯”邀请赛试题)2如图,矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为 (2003年上海市中考题) (第1题) (第2题) (第3题)3如图,在ABC中,B=CAD,则= (2000年重庆市竞赛题)4如图,梯形ABCD中,ABCD,ABa,CD=b(ab),对角线AC与BD相交于O,BOC的面积为梯形ABCD的面积的,则= 5如图,在四边形ABCD中,A135,B=D=90,BC=2,AD=2,则四边形ABCD的面积为( ) A4 B4 C4 D 6 (2001年湖北省荆州市中考题)6ABCD是边长为1的正方形
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